Révisions oraux

Chapitre 0 - Révision oraux

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$$ \newcommand{\SetN}{\mathbb{N}} \newcommand{\SetR}{\mathbb{R}} \newcommand{\SetC}{\mathbb{C}} \newcommand{\SetK}{\mathbb{K}} \newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\SetU}{\mathbb{U}} \newcommand\ds[0]{\displaystyle} \newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}} \newcommand{\=}{\:=\:} \newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}} \newcommand\tr[0]{\:^t\!} \newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:} \newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}} \newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}} \newcommand\Haut[1]{} \newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:} \newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:} \newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:} \newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:} \newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:} \newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}} \newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}} \newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}} \newcommand\fonction[5]{ \begin{array}{cccc} #1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\ & #4 & \mapsto & \ds #5 \ \end{array}} $$


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Nombre d'exos par page :


Exercice 1. Équivalent de $\ds I_n\=\int_0^{+\infty}\frac{\sin\left(\frac{t}{n}\right)}{t(1+t^2)}dt$.
Montrer que l'intégrale $$I_n\=\int_0^{+\infty}\frac{\sin\left(\frac{t}{n}\right)}{t(1+t^2)}dt$$ est convergente. Trouver un équivalent de $I_n$.
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Exercice 2. Matrice définie avec un paramètre. Diagonalisable ?
Soit $a$ dans $\SetR$. La matrice $$\:\:\left(\begin{array} {ccc}% 2&0&2\\ -a&1&0\\ 1&1&0\\ \end{array}% \right)\:\:$$ est-elle diagonalisable sur $\SetR$ ? sur $\SetC$ ?
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Exercice 3. Résolution de $M^2-3M=A$ avec $A$ dans $\mathcal{M}_3(\SetR)$
Considérons $$A\=\left(\begin{array} {ccc}% -2&0&1\\ -5&3&0\\ -4&4&-2\\ \end{array}% \right)$$ et $M$ dans $\mathcal{M}_3(\SetR)$ vérifiant $M^2-3M=A$. Montrer que $AM=MA$, puis déterminer les matrices $M$.
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Exercice 4. Etude d'une série entière dont le terme général est une série.
Pour tout $n$ de $\SetN$, on pose : $$\ds s_n=\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{1+k^2}$$ et on note $R$ le rayon de convergence de la série entière : $$\ds\sum_{k=0}^{+\infty}s_nx^n$$
  1. Montrer que la série définissant $s_n$ est convergente.
  2. En déduire que $R\geq 1$.
  3. Déterminer un équivalent de $s_n$.
  4. En déduire que $R=1$.
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Exercice 5. Extrema de $\:f(x,y)\=x^2+y^2-2x-4y\:$ sur $\SetR^2$ et sur un compact.
Soit $f$ l'application de $\SetR^2$ dans $\SetR$ définie par : $$f(x,y)\=x^2+y^2-2x-4y$$
  1. Déterminer les extremums de la fonction.
  2. $f$ admet-elle un maximum global sur $R^2$ ? Préciser le minimum global sur $R^2$.
  3. Soit $$D=\left\{(x,y)\in\SetR^2 \:\:/ \:\:0\leq x\leq 2,0\leq y\leq x\right\}$$ Représenter l'ensemble $D$
  4. Quels sont les extremums globaux de $f$ sur $D$ ?
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Exercice 6. Diagonalisabilité d'un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\SetR)$
Soit $f$ l'application de $\mathcal{M}_{2}(\SetR)$ dans $\mathcal{M}_{2}(\SetR)$ définie par : $$f\left(\left(\begin{array} {cc}% a&b\\ c&d\\ \end{array}% \right)\right)\:\=\: \left(\begin{array} {cc}% d&2b\\ 2c&a\\ \end{array}% \right)$$
  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{2}(\SetR)$
  2. Quels sont les éléments propres de $f$ ?
  3. $f$ est-elle diagonalisable ? inversible ?
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Exercice 7. Diagonalisation d'une matrice diagonale perturbée.
Soit $n\geq 3$ et $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n}(\SetR)$ telle que $$a_{i,j}=\left\{ \begin{array}{lll} 4&\text{si}&i=j\\ 1&\text{si}&i\neq j\\ \end{array} \right.$$
  1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
  2. La matrice $A-3I_n$ est-elle inversible ?
  3. En déduire les valeurs propres de $A$ sans calculer le polynôme caractéristique.
  4. Déterminer les vecteurs propres de $A$.
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Exercice 8. Couple de variables aléatoires.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. $X$ suit un loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$ et $Y$ sachant $X=n$ suit une loi binomiale de paramètre $(n,p)$ avec $p$ dans $[0,1[$.
  1. Donner la loi de $(X,Y)$.
  2. Reconnaître la loi de $Y$.
  3. Soit $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$.
  4. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
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Exercice 9. Calcul d'une intégrale avec une série entière.
Soit $$I\=\int_0^1 \frac{t\ln^2t}{2(1-t)^2}dt$$
  1. Montrer que l'intégrale $I$ est convergente.
  2. Donner le développement en série entière de $\ds x\mapsto \frac{1}{(1-x)^2}$
  3. En déduire que : $$\ds I\=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^3}$$
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Exercice 10. Matrices à diagonale propre - CCP 2008 MP
Les matrices à diagonale propre sont des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\SetR)$ dont la diagonale est constituée de ses valeurs propres en respectant les ordres de multiplicité. On note $\varepsilon_n$ l'ensemble des matrices à diagonale propre de $\mathcal{M}_{n}(\SetR)$.
  1. Donner des exemples de matrices à diagonale propre.
  2. La matrice $$A\=\left(\begin{array} {ccc}% 0&0&1\\ 0&0&0\\ -1&0&0\\ \end{array}% \right)$$ est-elle une matrice à diagonale propre ?
  3. Soit $A$ appartenant à $\varepsilon_n$ antisymétrique.
    1. Donnez les valeurs propres de $A$.
    2. Montrez qu'il existe un $p$ dans $\SetN$ tel que $A^p=0$.
    3. Calculez $(A^TA)^p$, puis en remarquant que $A^TA$ est symétrique, montrez que $A=0$.
  4. Rappeler la dimension du sous-espace vectoriel $\mathcal{A}_n(\SetR)$ des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$
  5. Soit $F$ un sous-espace de $\varepsilon_n$, montrez que $dim(F)\leq\frac{n(n+1)}{2}$.
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Eric Reynaud. PSI, Lycée A.Daudet, Nîmes