$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Exercice 1. Taylor Reste intégrale + application |
Soit $f$ une application $C^{n+1}$ d'un intervalle $I$ de $\SetR$ dans $\SetR$.
- Montrer par récurrence sur $n$ que pour tous $x$ et $a$ dans $I$ :
$$f(x)\=f(a)\:+\:f'(a)(x-a)\:+\:...\:+\:f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\:+\:\int_a^xf^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}dt$$
C'est la formule de Taylor Reste intégrale.
- Montrer pour tout $n$ de $\SetN$ que :
$$f^{(n+1)}=0\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:f\in\SetR_n[X]$$
On assimile ici polynôme et fonction polynôme.
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| 1 |
Pour $n = 0$, puisque $f$ est continue :
$$
\int_a^x f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!} \, dt \:\=\: \int_a^x f'(t) \, dt \:\=\: {\Big[f(t)\Big]}_a^x \:\=\: f(x) - f(a)
$$
La proposition est initialisée. Supposons le résultat vrai pour $n$ fixé dans $\SetN$ et montrons-le pour $n+1$.
$$
\begin{array}{llll}
f(x)&\:\=\:
&\ds\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}\:\:+\:\:
\int_a^x f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^{n}}{n!} \, dt &\text{Par hypothèse de récurrence}\\
&\:\=\:
&\ds\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}\:\:+\:\:
\left[-f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} \right]_a^x
\:+\: \int_a^x f^{(n+2)}(t)\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} \, dt\hskip1cm~&\text{Par IPP}\\
&\:\=\:
&\ds\sum_{k=0}^{n+1}f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}\:\:+\:\:
\int_a^x f^{(n+2)}(t)\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} \, dt&\\
\end{array}
$$
D'où le résultat de l'hérédité. La proposition est donc démontrée par récurrence pour tout $n$ de $\SetN$.
|
| 2 |
Montrer que :
$$f^{(n+1)}=0\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:f\in\SetR_n[X]$$
$(\Longleftarrow)$
$$f \in \SetR_n[X] \:\implies\: f' \in \SetR_{n-1}[X] \:\implies\: \dots \:\implies\: f^{(n)} \in \SetR_0[X] \:\implies\: f^{(n+1)} = 0$$
$(\Longrightarrow)$ On applique la formule de Taylor-Lagrange reste intégrale en $a = 0$ :
$$
f(x) \= f(0) + f'(0)x + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \int_0^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \, dt.
$$
Comme $f^{(n+1)} = 0$, on obtient
$$
f(x) \= f(0) + f'(0)x + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \:\in\: \mathcal{R}_n[X].
$$
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| Exercice 2. $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ |
| Montrer que la suite $(u_n)$ définie par :
$$\forall n\in\SetN,\:\:u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$$
et $u_0\in[-2;+\infty[$, converge vers une limite indépendante de $u_0$.
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Rappels et compléments d'algèbre linéaire
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| Exercice 3. $\ds\phi(x)\=\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$ |
Pour tout $x$ de $\SetR$, on définit :
$$\phi(x)\=\int_1^{+\infty}\!\!\frac{dt}{1+t^x}$$
- Déterminer le domaine de définition de $\phi$.
- Montrer que $\phi$ est décroissante.
- Déterminer la limite de $\phi$ en $+\infty$.
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| Exercice 4. Calcul de : $\ds\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^4}dt$ |
Posons $$%
I=\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^4}dt\hskip3cm%
J=\int_0^{+\infty}\frac{t^2}{1+t^4}dt%
$$
- Montrer que $\:I\:$ et $\:J\:$ convergent.
- Montrer que $\:I=J\:$.
- Calculer $\:I+J\:$ en effectuant le changement de variable $\:x=t-\frac{1}{t}\:$. En déduire la valeur de $I$.
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| Exercice 5. Équivalent de $\ds\int_0^x\frac{arctan(t)}{t}dt$ |
- Déterminer la nature des intégrales suivantes :
$$
\int_1^{+\infty}\frac{\arctan(t)}{t}dt
\hskip2cm
\int_1^{+\infty}\frac{\arctan(1/t)}{t}dt
$$
- En déduire un équivalent quand $x$ tend vers $+\infty$ de :
$$\int_1^{x}\frac{\arctan(t)}{t}dt$$
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| Exercice 6. Une application de Vandermonde. |
| Soit $n$ dans $\SetN$ et $\lambda_0$, ..., $\lambda_n$ dans $\SetC$. Montrer que la fonction définie de $\SetC$ dans $\SetC$ par le déterminant :
$$f(x)\:\=\:\left|
\begin{array}{ccccc}
1&\lambda_0+x&(\lambda_0+x)^2&...&(\lambda_0+x)^n\\
1&\lambda_1+x&(\lambda_1+x)^2&...&(\lambda_1+x)^n\\
1&\lambda_2+x&(\lambda_2+x)^2&...&(\lambda_2+x)^n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\lambda_n+x&(\lambda_n+x)^2&...&(\lambda_n+x)^n\\
\end{array}
\right|$$
est une application constante. Quelle est la valeur de la constante ?
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| Exercice 7. Diagonalisabilité des matrices de rang 1. |
Soit $n$ un entier supérieur ou égale à 2 et $A$ une matrice de taille $n\times n$ de rang 1.
- Déterminer la dimension du noyau de $A$. En déduire que $0$ est valeur propre. Quelles sont les multiplicités possibles de $0$ ?
- Montrer qu'il existe une autre valeur propre de $A$ si et seulement si $tr(A)\neq 0$.
- En déduire que $A$ est diagonalisable si et seulement si $tr(A)=0$.
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| Exercice 8. Étude de l'endomorphisme $\phi(M)=M+tr(M)I$ |
Considérons l'endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ définie par :
$$
\forall M\in\mathcal{M}_n(\SetR),\:\:\:\:\:\phi(M)\:\=\:M\:+\:tr(M)I
$$
- Déterminer les valeurs propres de $\phi$.
- Montre que $\phi$ est diagonalisable.
- Déterminer $tr(\phi)$ et $det(\phi)$.
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| Exercice 9. Probabilité et diagonalisation. |
Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{-1,0,1\}$, telles que :
$$\forall a\in\{-1,0,1\},\:\:\:P(X=a)=P(Y=a)=\frac{1}{3}$$
On pose de plus :
$$M\=\left(\begin{array}{cl}
1&X\\
-1&Y\\
\end{array}
\right)$$
- Déterminer le polynôme caractéristique $\PCar{M}$. On note $\Delta$ son discriminant.
- Montrer que $\Delta=0$ si et seulement si $(X,Y)=(0,1)$ ou $(X,Y)=(1,-1)$.
- Quelle est la probabilité pour que la matrice $M$ soit diagonalisable ?
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| Exercice 10. $P(\SetZ)\subset\SetZ$ |
Notons $H_0=1$ et pour tout $n$ de $\SetN^*$ :
$$H_n\=\frac{X(X-1)...(X-n+1)}{n!}$$
De plus, on pose $A$ et $B$ les ensembles définis par :
$$
A\=\text{Vect}_{_\SetZ}(H_0,H_1,H_2,...)
\hskip2cm
B\=\Big\{P\in\SetR[X]\:/\:P(\SetZ)\subset\SetZ\Big\}
$$
Ainsi $A$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des $(H_n)_{n\in\SetN}$ à coefficients dans $\SetZ$. Le but est de montrer que $A=B$.
- Montrer que :
$$\forall n\in\SetN,\:\:\forall k\in\SetZ,\:\:H_n(k)\in\SetZ$$
En déduire que $A\subset B$.
- Posons pour tout $P$ de $\SetR[X]$ :
$$\Delta(P)\=P(X+1)-P(X)$$
Montrer que $\Delta$ est une application linéaire. Quel est son noyau ? Puis vérifier que :
$$\forall n\in\SetN^*,\:\:\Delta(H_n)\=H_{n-1}$$
- En déduire que $B\subset A$. On pourra raisonner par récurrence sur le degré du polynôme $P$ choisi.
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Eric Reynaud. PSI, Lycée A.Daudet, Nîmes
