$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Type de convergence de $\mathbf{(f^n)}$ avec $f$ strictement contractante. |
Soit $f$ une application $k$-lipschitzienne de $\SetR$ dans $\SetR$ avec $k<1$. On dit que $f$ est strictement contractante. De plus dans tout l'exercice $f^n$ désigne $$f^n\:\=\:f\;o\;f\;o\;...\;o\;f$$ $n$ fois.
Partie I. Théorème de Picard. Considérons une suite $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Montrer que $$\forall n\in\SetN,\:\:|u_{n+1}-u_n|\:\leq\: k^n|u_1-u_0|$$
- Montrer que la série $\sum u_{n+1}-u_n$ est convergente. En déduire que $(u_n)$ est convergente.
- Montrer que $f$ admet un unique point fixe que l'on notera $x_0$.
Partie II. Type de convergence de $(f^n)$.
- Déterminer la convergence simple de $(f^n)$.
- En considérant la fonction $g(x)=\frac{x}{2}$, montrer que la convergence peut ne pas être uniforme sur $\SetR$.
- Montrer que pour tout $x$ de $\SetR$, on a :
$$\left|f^n(x)-x_0\right|\:\leq\:k^n|x-x_0|$$
- En déduire que $(f^n)$ converge uniformément sur tout segment de $\SetR$.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Thèmes abordés et niveau :
Niveau 3
Suites et séries de fonctions
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| $\varphi(M)=AM$ sur un exemple. |
Soit $a$ dans $\SetR$ et :
$$
A=\left(
\begin{array}{ll}
1&1\\
0&a\\
\end{array}
\right)
\hskip2cm
\fonction{\varphi_A}{\mathcal{M}_n(\SetR)}{\mathcal{M}_n(\SetR)}{M}{AM}
$$
- On admet que $\varphi_A$ est linéaire. Déterminer sa matrice dans la base canonique :
$$\beta\=\left(
\left(\begin{array}{ll}
1&0\\
0&0\\
\end{array}\right)\:,\:
\left(\begin{array}{ll}
0&1\\
0&0\\
\end{array}\right)\:,\:
\left(\begin{array}{ll}
0&0\\
1&0\\
\end{array}\right)\:,\:
\left(\begin{array}{ll}
0&0\\
0&1\\
\end{array}\right)
\right)$$
- Comparer $\text{Sp}(A)$ et $\text{Sp}(\varphi_A)$, $\text{det}(A)$ et $\text{det}(\varphi_A)$ puis $\text{tr}(A)$ et $\text{tr}(\varphi_A)$.
- Montrer que :
$$
A\text{ diagonalisable}
\:\:\:\:\Longleftrightarrow
\:\:\:\:a\neq 1\:\:\:\:
\Longleftrightarrow\:\:\:\: \varphi_A\text{ diagonalisable}
$$
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Type de convergence de séries de fonctions. |
| Étudier le type de convergence des séries de fonctions de terme général $\:(f_n)\:$ définie par :
$$\begin{array} {lllll}%
1.&\ds f_n(x)=\frac{(-1)^n}{n+x^2}\text{ sur }\SetR&~\hskip2.8cm~&
2.&\ds f_n(x)=\frac{1}{n+n^2x^4}\text{ sur }]0,+\infty[\\[0.6cm]
3.&f_n(x)=x^{2n}\:\text{ sur }\:[0;1[&&
4.&f_n(x)=\sin(x)\cos^n(x)\text{ sur }[0,\pi]\\[0.6cm]
5.&\Haut{0.9}\ds f_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln(n)}\text{ sur }\SetR^+&&
6.&f_n(x)=\ds x^n(1-x^n)\text{ sur }[0,1]\\
\end{array}$$
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Thèmes abordés et niveau :
Niveau 1
Suites et séries de fonctions
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Matrices par blocs |
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\SetR)$ et
$$
B = \begin{pmatrix}
A & A \\
0 & 0
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\SetR).
$$
- Donner le rang de $B$ en fonction du rang de $A$.
- Montrer que, pour tout $P \in \SetR[X]$,
$$
P(B) =
\begin{pmatrix}
P(A) & P(A) \\
0 & 0
\end{pmatrix}
+ P(0)\begin{pmatrix}
0 & -I_n \\
0 & I_n
\end{pmatrix}.
$$
- Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $B$ est diagonalisable.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| 1 |
Montrons que $\mathrm{rg}(B)=\mathrm{rg}(A)$. En effectuant l'opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2-C_1$ sur la matrice $B$, on obtient :
$$\mathrm{rg}(B)
\:\=\:
\mathrm{rg}\left(\begin{array}{ll}A&A\\0&0\end{array}\right)
\:\=\:
\mathrm{rg}\left(\begin{array}{ll}A&0\\0&0\end{array}\right)
\:\=\:
\mathrm{rg}(A)+\mathrm{rg}(0)
\:\=\:
\mathrm{rg}(A)
$$
|
| 2 |
Exprimons $P(B)$ pour $P\in\SetR[X]$.
On note $$P(X)=\sum_{k=0}^m a_k X^k$$ On a donc $P(0)=a_0$. Observons d'abord les puissances de $B$.
Pour $k\geq 1$ on montre par récurrence que
$$
B^k=\begin{pmatrix}A^k & A^k\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
$$
En effet, $B^1$ vérifie la formule, et si la formule est vraie pour $k$, alors
$$
B^{k+1} = B^k B
=\begin{pmatrix}A^k & A^k\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A & A\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}A^{k+1} & A^{k+1}\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
$$
De plus $B^0=I_{2n}=\begin{pmatrix}I_n & 0\\[4pt]0 & I_n\end{pmatrix}$.
On obtient donc
$$
\begin{array}{lll}
P(B) &=& \ds\sum_{k=0}^m a_k B^k\\[0.3cm]
&=&\ds a_0 I_{2n} + \sum_{k=1}^m a_k \begin{pmatrix}A^k & A^k\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \\[0.3cm]
&=&\ds \begin{pmatrix}a_0 I_n + \ds\sum_{k=1}^m a_k A^k & \ds\sum_{k=1}^m a_k A^k\\[4pt]0 & a_0 I_n\end{pmatrix} \\[0.3cm]
&=&\ds \begin{pmatrix}P(A) & P(A)-P(0)I_n\\[4pt]0 & P(0)I_n\end{pmatrix}.
\end{array}
$$
On peut réécrire cette égalité sous la forme donnée dans l'énoncé :
$$
P(B)=\begin{pmatrix}P(A) & P(A)\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}+P(0)\begin{pmatrix}0 & -I_n\\[4pt]0 & I_n\end{pmatrix}.
$$
|
| 3 |
Si $A$ est diagonalisable, alors il existe $P$ SARS annulateur de $A$. Quitte à multiplier par $X$, on peut supposer
que $P(0)=0$. L'équation de la question précédente donne alors $P(B)=0$ avec $P$ SARS. Ainsi $B$ est diagonalisable.
Inversement si $B$ est diagonalisable alors il existe $P$ polynôme SARS annulateur de $B$. Quitte à multiplier par $X$, on peut encore supposer
que $P(0)=0$. On obtient alors $P(A)=0$ et $A$ diagonalisable.
|
|
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Probabilité que la nème décimal de $\sqrt{k}$ soit 1. |
Le but de l’exercice est de déterminer $($dans un sens que l'on précisera$)$ la probabilité, pour un entier naturel $n$ pris au hasard, que le premier chiffre après la virgule de $\sqrt{n}$ soit égal 1.
Notons $A$ l'ensemble des entiers naturels $n$ dont le premier chiffre après la virgule de $\sqrt{n}$ est 1. On a donc :
$$
A\=\Big\{k\in\SetN\:\:/\:\:{\textstyle\frac{1}{10}}\:\leq\:\sqrt{k}-\lfloor\sqrt{k}\rfloor\:< \:{\textstyle\frac{2}{10}}\Big\}
$$
où $\lfloor.\!.\!.\rfloor$ désigne la fonction partie entière.
Soit $n$ dans $\SetN$. Notons $n_1$ et $n_0$ respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$ par 5. On a donc :
$$n\=5n_1\:+\:n_0\hskip2cm\text{et}\hskip2cmn_0\in\{0,1,2,3,4\}$$
- Montrer que :
$$
k\in A\cap\left[\!\left[n^2,(n+1)^2\right[\!\right[
\:\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\:
\left\{\begin{array}{ll}
k-n^2-n_1\in[\![1,n_1]\!]&\text{si }n_0\in\{0,1,2\}\\
k-n^2-n_1\in[\![1,n_1+1]\!]&\text{si }n_0\in\{3,4\}\\
\end{array}
\right.$$
- Montrer que :
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor\frac{k}{5}\right\rfloor\:\=\:\frac{5n_1(n_1-1)}{2}\:+\:(n_0-1)n_1
\:\:\mathop{\sim}_{n\to+\infty}\:\:\frac{n^2}{10}
$$
- Pour tout $k$ de $\SetN$, notons :
$$u_k\:\=\:\text{card}\left(
A\cap\left[\!\left[0,k\right]\!\right]
\right)$$
Montrer que :
$$
u_{n^2}\:\mathop{\sim}_{+\infty}\:\frac{n^2}{10}
$$
-
Posons $\Omega=[\![0;N]\!]$ et notons $p$ la probabilité uniforme sur $\left(\Omega,\mathcal{P}(\Omega)\right)$. De plus notons $A_N$ l'événement :
$$
A_N\:\=\:A\cap\left[\!\left[0,N\right]\!\right]
$$
Montrer que :
$$
\limite{N}{+\infty} p(A_N)\:\:\=\:\:\frac{1}{10}
$$
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| 1 |
Soit $k$ un entier naturel.
$$
\begin{array}{ll}
&
\ds k \in A \cap \left[\!\left[n^2, (n+1)^2 \right[\!\right[ \\[0.3cm]
\Longleftrightarrow&
\ds\left\{\begin{array}{l}
\left\lfloor \sqrt{k} \right\rfloor = n\\
\frac{1}{10} \le \sqrt{k} - \left\lfloor \sqrt{k} \right\rfloor < \frac{2}{10}.\\
\end{array}\right.\\[0.3cm]
\Longleftrightarrow&
\left(n + \frac{1}{10} \right)^2 \le k < \left(n + \frac{2}{10} \right)^2.\\[0.3cm]
\Longleftrightarrow&
\frac{2n}{10} + \frac{1}{100}
\;\le\;
k-n^2
\;<\;
\frac{4n}{10} + \frac{4}{100}.\\[0.3cm]
\end{array}
$$
Comme $n = 5n_1 + n_0$, on obtient :
$$
\begin{array}{ll}
&
\ds k \in A \cap \left[\!\left[n^2, (n+1)^2 \right[\!\right[ &
\Longleftrightarrow& \frac{n_0}{5} + \frac{1}{100}
\;\le\;
k - n^2 - n_1
\;<\;
n_1 + \frac{2n_0}{5} + \frac{4}{100}.\\[0.3cm]
\end{array}
$$
Comme $k - n^2 - n_0 \in \SetZ$, on obtient :
$$
k\in A\cap\left[\!\left[n^2,(n+1)^2\right[\!\right[
\:\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\:
\left\{\begin{array}{ll}
k-n^2-n_1\in[\![1,n_1]\!]&\text{si }n_0\in\{0,1,2\}\\
k-n^2-n_1\in[\![1,n_1+1]\!]&\text{si }n_0\in\{3,4\}\\
\end{array}
\right.$$
|
| 2 |
On considère la somme
$$
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:\=\:
\sum_{k=0}^{5n_1 - 1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:+\:
\sum_{k=5n_1}^{5n_1 + n_0 - 1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor.
$$
Pour tout $p \in \{0,\dots,n_1\}$,
$$
\left\lfloor \frac{5p}{5} \right\rfloor \= \left\lfloor \frac{5p+1}{5} \right\rfloor = \cdots = \left\lfloor \frac{5p+4}{5} \right\rfloor = p.
$$
On peut donc regrouper les termes 5 par 5. Ainsi
$$
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:\=\:
\sum_{p=0}^{n_1-1} 5p \:+\: (n_0 - 1)n_1.
$$
Donc
$$
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:\=\:
5 \cdot \frac{n_1(n_1 - 1)}{2} \:+\: (n_0 - 1)n_1.
$$
Comme $n_1 = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor$ et $n_0$ est borné, on a :
$$
5 \cdot \frac{n_1(n_1 - 1)}{2} + (n_0 - 1)n_1
\:\mathop{\sim}_{n_1\to+\infty}\:
\frac{5n_1^2}{2}
\:\=\:
\frac{5}{2}\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor^2
\:\mathop{\sim}_{n\to+\infty}\:
\frac{n^2}{10}
$$
|
| 3 |
On remarque tout d'abord que :
$$u_{(k+1)^2} - u_{k^2}\:\:\=\:\:\text{card}\left(A \cap \left[\!\left[k^2, (k+1)^2 \right[\!\right[\right)$$
D’après la question 1, on a pour tout $k \in \SetN$ :
$$
\left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:\:\leq\:\: u_{(k+1)^2} - u_{k^2}
\:\:\leq\:\: 1 + \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor.
$$
En sommant pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ :
$$
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor
\:\:\le\:\:
\sum_{k=0}^{n-1} u_{(k+1)^2} - u_{k^2}
\:\:\le\:\:
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{k}{5} \right\rfloor + n.
$$
En utilisant la question 2 et l’effet téléscopique, on trouve :
$$
u_{n^2} \:\mathop{\sim}_{+\infty}\: \frac{n^2}{10}.
$$
|
| 4 |
Soit $N$ dans $\SetN$ et $n$ dans $\SetN$ vérifiant :
$$n^2\:\:\leq\:\:N\:\:< \:\:(n+1)^2$$
Comme $(u_n)$ est croissante, on a :
$$u_{n^2}\:\:\leq\:\:u_N\:\:< \:\:u_{(n+1)^2}$$
Et donc :
$$\frac{u_{n^2}}{(n+1)^2}\:\:\leq\:\:\frac{u_N}{N}\:\:< \:\:\frac{u_{(n+1)^2}}{n^2}$$
En utilisant l'équivalent de la question précédente et le théorème d'encadrement, on obtient :
$$\limite{N}{+\infty} p(A_N)\:\=\:\limite{N}{+\infty}\frac{u_N}{N}\:\=\:\frac{1}{10}$$
|
|
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Loi du max de 2 dés. |
| On lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus. Déterminer la loi de $X$.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| J.C. VanDamme et Markov. |
Commençons par une citation de J.C. VanDamme :
$$\left|\begin{array}{l}
\text{" J'adore les cacahuètes. Tu bois une bière et tu en as marre du goût. Alors tu manges des cacahuètes. }\\
\text{Les cacahuètes c'est doux et salé, fort et tendre, comme une femme. Et après tu as de nouveau envie de boire }\\
\text{de la bière. Les cacahuètes c'est le mouvement perpétuel à la portée de l'homme ". }\\
\end{array}\right.$$
Supposons que lorsque J.C. VanDamme boive une gorgée de bière, il y a 2 chances sur 3 qu'il mange des cacahuètes à l'instant d'après et donc 1 sur 3 qu'il reprenne de la bière. Inversement quand il prend une poignée de cacahuètes, il y a 1 chance sur 2 qu'à l'instant d'après il boive une gorgée de bière et donc une sur 2 qu'il reprenne des cacahuètes. Notons $B_n$ et $C_n$ les événements :
$$
\begin{array} {lll}%
B_n &:& \text{"J.C. VanDamme boit de la bière à l'instant n"}\\
C_n &:& \text{"J.C. VanDamme mange des cacahuètes à l'instant n"}
\end{array}%
$$
et $b_n$ et $c_n$ leurs probabilités.
- Posons $X_n=\left(
\begin{array} {ccc}%
b_n\\
c_n\\
\end{array}\right)%
$
Déterminer une relation de récurrence sur les $X_n$
- En déduire $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Thèmes abordés et niveau :
Niveau 1
Probabilité
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| $P(\SetZ)\subset\SetZ$ |
Notons $H_0=1$ et pour tout $n$ de $\SetN^*$ :
$$H_n\=\frac{X(X-1)...(X-n+1)}{n!}$$
De plus, on pose $A$ et $B$ les ensembles définis par :
$$
A\=\text{Vect}_{_\SetZ}(H_0,H_1,H_2,...)
\hskip2cm
B\=\Big\{P\in\SetR[X]\:/\:P(\SetZ)\subset\SetZ\Big\}
$$
Ainsi $A$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des $(H_n)_{n\in\SetN}$ à coefficients dans $\SetZ$. Le but est de montrer que $A=B$.
- Montrer que :
$$\forall n\in\SetN,\:\:\forall k\in\SetZ,\:\:H_n(k)\in\SetZ$$
En déduire que $A\subset B$.
- Posons pour tout $P$ de $\SetR[X]$ :
$$\Delta(P)\=P(X+1)-P(X)$$
Montrer que $\Delta$ est une application linéaire. Quel est son noyau ? Puis vérifier que :
$$\forall n\in\SetN^*,\:\:\Delta(H_n)\=H_{n-1}$$
- En déduire que $B\subset A$. On pourra raisonner par récurrence sur le degré du polynôme $P$ choisi.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Valeurs propres des matrices stochastiques |
Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique, $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X=(x_1\:...\:x_n)^T$ un vecteur propre associé.
- Soit $i_0$ l'indice vérifiant :
$$|x_{i_0}|\=\|X\|_\infty\=\mathop{\text{Max}}\Big\{|x_1|,\:|x_2|,\:...,\:|x_n|\Big\}$$
Montrer que :
$$\lambda x_{i_0}\=\sum_{j=1}^na_{i_0j}x_j$$
- Montrer que 1 est une valeur propre de $A$. Donner un de ses vecteurs propres.
- Montrer que les valeurs propres $\lambda$ de $A$ vérifie $|\lambda|\leq 1$.
- Supposons que $A$ est strictement stochastique.
Rappeler le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, puis montrer que : $$|\lambda|= 1\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm x_1=x_2=...=x_n$$
- En déduire que pour une matrice strictement stochastique :
$$
\left\{\begin{array}{ll}
\lambda=1\:\text{ ou }\:|\lambda|<1 \\
E_1\=\text{Vect}(U)\\
\end{array}
\right.
$$
- Montrer que pour tout $M$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$, on a $\PCar{A}=\PCar{A^T}$. En déduire que les résultats pourtant sur les valeurs propres d'une matrices anti-stochastique sont similaires.
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
| Matrices stochastiques. |
Notons $U$ la matrice colonne de $\mathcal{M}_{n1}(\SetR)$ ne contenant que des 1.
- Montrer que la matrice $A=(a_{ij})$ est stochastique si et seulement si :
$$\left\{\:\begin{array}{l}
\forall i,j\in[\![1,n]\!],\:\:a_{ij}\geq 0\\[0.15cm]
AU=U\\
\end{array}\right.$$
- Montrer que le produit de matrices stochastiques est encore stochastique.
- Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est un convexe de $\mathcal{M_n}(\SetR)$.
- Que se passe-t-il dans le cas des matrices anti-stochastiques ?
|
| Indice |
Correction |
Modifier |
Autres
infos |
| Pas de correction disponible. |
| Pas d'indice disponible. |
Pas de thème, pas de niveau pour cet exercice.
|
| Si vous avez vu une erreur ou si une démonstration manque, vous pouvez modifier l'exercice.Il faut cependant être connecté. |
| |
Eric Reynaud. PSI, Lycée A.Daudet, Nîmes
