$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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III. Paramètre sur les bornes de l'intégrale
III.1. Rappel : théorème fondamental de l'analyse.
Théorème - TFA.18
Soit $f$ une application continue de $[a,b]$ dans $\SetR$ alors :
$$F(x)\=\int_c^xf(t)dt$$
est une primitive de $f$ pour toute valeur $c$ de $[a,b]$.
Méthode.
Pour dériver une application $F$ de la forme :
$$\ds G(x)\=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$
avec $f$ continue et $u$, $v$ $C^1$ :
- On pose $\:\ds F(x)\=\int_c^x\!\!f(t)dt\:\:\:$ $(c$ arbitraire dans le domaine de définition de $f)$. D'après le TFA, $F'(x)=f(x)$.
- On exprime $G$ en fonction de $F$, $u$ et $v$ : $$G(x)\=F(v(x))-F(u(x))$$
- $G$ est donc dérivable comme composée/somme de fonctions dérivables et :
$$G'(x)\=f(v(x)).v'(x)-f(u(x)).u'(x)$$
Exercice.19
Étudier la fonction définie par :
$$f(x)\=\int_0^{\sin^2(x)}\!\!\text{Arcsin}(\sqrt{t})dt\:\:+\:\:\int_0^{\cos^2(x)}\!\!\text{Arccos}(\sqrt{t})dt$$
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III. Paramètre sur les bornes de l'intégrale
III.2. Paramètre sur les bornes et dans l'intégrale.
Méthode.
Lorsqu'un paramètre apparait à l'intérieur de l'intégrale et sur les bornes Il existe deux idées principales :
- On effectue un changement de variable pour enlever la variable soit sur les bornes de l'intégrale, soit à l'intérieur.
- On prolonge la fonction sous l'intégrale par 0, pour qu'elle soit définie sur un ensemble fixe.
Exercice - Cesàro intégrale.20
Soit $f$ une application continue de $[0,+\infty[$ dans $\SetR$ de limite $l$. Posons :
$$c_n\=\frac{1}{n}\int_0^nf(t)dt$$
Montrer que $c_n\tendvers{n}{+\infty}l$.
Exercice - Gauss avec Wallis.21
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur de l'intégrale de Gauss : $I=\ds\int_0^{+\infty}\!\!e^{-t^2}dt$ à l'aide des intégrales de Wallis. On rappelle la définition des intégrales de Wallis, ainsi qu'un équivalent :
$$W_n\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(x)dx
\hskip2cm
W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}
$$
Pour cela considérons l'intégrale : $$I_n\=\int_0^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt$$
- Montrer que $I_n\tendvers{n}{+\infty}I$.
- Montrer que $I_n=\sqrt{n}W_{2n+1}$. En déduire la valeur de $I$
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