$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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IV. Application aux fonctions définies par une série.
IV.1. Comment étudier de telles fonctions ?
Méthode.
Soit $f$ une fonction définie par :$$f(x)\=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)$$
-
Domaine de définition. Pour montrer que $f$ est définie sur $I$, on montre que :
$$\forall x\in I,\:\:\:\:\:\left\{\begin{array} {l}%
\ds x\text{ est dans le domaine des }{f_n}\\
\Haut{0.5}\ds\sum f_n(x)\text{ converge}\\
\end{array}%
\right.
$$
-
Continuité de f. Pour montrer que $f$ est continue sur $I$, on applique le théorème de conservation de la continuité par CUS en montrant que :
$$\ds\left\{\begin{array} {l}%
\ds \text{ tous les }f_n\text{ sont continues sur }I\\
\Haut{0.5}\ds\sum f_n\text{ CUS sur }I\\
\end{array}%
\right.
$$
-
Dérivabilité f. Pour montrer que $f$ est dérivable sur $I$, on applique le théorème de dérivation sous le signe somme en montrant que :
$$\left\{\begin{array} {l}%
\ds \text{ tous les }f_n\text{ sont dérivables sur }I\\
\Haut{0.5}\ds\sum f_n\:\text{ CS sur }I\\
\Haut{0.5}\ds\sum f'_n\:\text{ CUS sur }I\\
\end{array}%
\right.
$$
-
Classe $\mathbf{C^\infty}$ de f. Pour montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$, on montre que $f$ est $C^p$ grâce au théorème de dérivation $C^p$ que nous rappelons :
$$\left\{\begin{array} {l}%
\ds \text{ tous les }f_n\text{ sont }C^p\hbox{ sur }I\\
\sum f^{(k)}_n\text{ CS}\hbox{ pour }k < p\\
\sum f^{(p)}_n\text{ CUS}
\end{array}%
\right.\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm \sum f_n\hbox{ est $C^p$}$$
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IV. Application aux fonctions définies par une série.
IV.2. Exemples.
Exercice.30
Pour tout $x$ de $\SetR^*_+$, on pose $$f(x)\=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x}{x^2+k^2}$$
- Montrer que $f$ est définie sur $\SetR^*_+$, puis qu'elle est continue.
- En utilisant le théorème de la double limite, montrer que : $\:\:\ds f(x)\:\=\:\frac{1}{x}\:+\:\frac{\:\pi^2}{6}x\:+\:o(x)$.
- En utilisant le théorème de comparaison série-intégrale, montrer que : $\:\:\limite{x}{+\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}$.
Exercice - fonction Zéta de Riemann. 31
Notons $\zeta$ la fonction de $]1;+\infty[$ dans $\SetR$ définie par :
$$\zeta(x)\=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^x}$$
- Montrer que $\zeta$ est continue sur $I$.
- Montrer que pour tout $p$ de $\SetN$, la série $\sum \frac{\ln^p(n)}{n^x}$ converge uniformément sur tout segment de $I$.
- Montrer que $\zeta$ est $C^\infty$ sur $I$. Que vaut $\ds\zeta^{(p)}$ pour $p$ dans $\SetN$ ?
- Montrer à l'aide du théorème de la double limite que :
$$\zeta(x)-1\:\:\mathop{\sim}_{+\infty}\:\:\frac{1}{2^x}$$
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