Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

$$ \newcommand{\SetN}{\mathbb{N}} \newcommand{\SetR}{\mathbb{R}} \newcommand{\SetC}{\mathbb{C}} \newcommand{\SetK}{\mathbb{K}} \newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\SetU}{\mathbb{U}} \newcommand\ds[0]{\displaystyle} \newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}} \newcommand{\=}{\:=\:} \newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}} \newcommand\tr[0]{\:^t\!} \newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:} \newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}} \newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}} \newcommand\Haut[1]{} \newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:} \newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:} \newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:} \newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:} \newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:} \newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}} \newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}} \newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}} \newcommand\fonction[5]{ \begin{array}{cccc} #1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\ & #4 & \mapsto & \ds #5 \ \end{array}} $$

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

I. Modes de convergence.
1. A propos de la norme infinie.
2. Convergence simple, convergence uniforme.
3. Relations entre les types de convergence.
4. Exemples et plan d'étude pour les suites de fonctions.
5. Séries de fonctions.
6. Exemples et plan d'étude pour les séries de fonctions.
7. Stabilité par combinaison linéaire, produit de fonctions bornées.

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
1. Conservation de l'ordre.
2. Non conservation de l'injectivité et de la surjectivité.
3. Conservation de continuité par CU.
4. Non conservation de la dérivabilité.
5. Polynômes.
6. Résumé.

III. Interversion de limites.
1. Interversion limite-intégrale.
2. Interversion limite-dérivabilité.
3. Interversion limite-limite.

IV. Application aux fonctions définies par une série.
1. Comment étudier de telles fonctions ?
2. Exemples.

Ici sera la liste des chapitres !!!

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.1. Conservation de l'ordre.

Théorème.^¹¹

Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ des suites de fonctions convergent simplement vers $f$ et $g$ alors : $$\forall n\in\SetN,\:\:\:f_n\leq g_n\hskip0.5cm\Longrightarrow \hskip0.5cm f\leq g$$ Il en est donc de même si la convergence est une CUS, CU, CN.

Conséquences.^¹²

La CS $($et donc la CUS/CU/CN$)$ conserve toutes les notions définies par une égalité ou une inégalité. Par exemple, elle conserve :

la parité,
la périodicité $($avec une période commune pour toutes les fonctions de la suite$)$,
la positivité,
la monotonie,
la convexité/concavité,
les fonctions $\lambda$-lipschitzienne $($avec un $\lambda$ commun pour toutes les fonctions de la suite$)$,
les applications linéaires.

Exercice - limite de fonctions lipschitziennes.^¹³

Soit $f_n$ une application de $\SetR$ qui soit $\lambda_n$ lipschitzienne et telle que $f_n\tendversCS f$.

Supposons dans cette question que $I=\SetR^+$ et que : $$f_n(x)=\sqrt{x+\frac{1}{n}}$$ Montrer que $f_n$ converge uniformément vers la fonction racine.
En déduire que la limite uniforme $($donc simple aussi$)$ de fonctions lipschitziennes n'est pas forcément lipschitzienne.
Montrer que si la suite $(\lambda_n)$ est bornée alors $f$ est lipschitzienne.

Exercice - limite de fonctions bornées.^¹⁴

Soit $(f_n)$ une suite d'applications bornées qui converge simplement vers $f$.

Montrer que $f$ peut ne pas être bornée.
Montrer que s'il existe une même constante $M$ qui majore tous les $f_n$, alors $f$ est bornée
Montrer que si $f_n\tendversCU f$ alors $f$ est bornée.

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.2. Non conservation de l'injectivité et de la surjectivité.

Exercice.^¹⁵

Soient $n$ dans $\SetN\setminus\{0;1\}$ et $f_n$, $g_n$ les fonctions de $\SetR$ dans $\SetR$ définies par : $$f_n(x)\=\left\{\begin{array} {lll}% x+\frac{1}{n}&\hbox{si}&x<0\\ 1&\hbox{si}&x=0\\ x-\frac{1}{n}&\hbox{si}&x>0\\ \end{array}% \right.\hskip2cm g_n(x)=\frac{1}{n}\arctan(x)$$

Tracer les fonctions $f_n$ et $g_n$. Sont-elles injectives ? Surjectives ?
Montrer que $f_n$ et $g_n$ convergent uniformément vers des fonctions $f$ et $g$ que l'on précisera. Les applications $f$ et $g$ sont-elles injectives ? surjectives ?
En déduire l'injectivité et la surjectivité ne sont pas conservées par CS ou CU.

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.3. Conservation de continuité par CU.

Théorème.^¹⁶

$$\left\{\begin{array} {lcc}% f_n\tendversCUS f\\ \Haut{0.45}f_n\hbox{ continues sur }I \end{array}% \right.\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm f\hbox{ continue sur }I$$

Remarques.

Comme le montre l'exemple la suite $f_n(x)=x^n$ définie sur $[0,1]$, la convergence simple ne conserve pas la continuité.
On remarque que si $$\left\{\begin{array} {l}% f_n\tendversCS f\\ \Haut{0.45}f_n\hbox{ continues sur }I\hbox{ pour tout }n\hbox{ de }\SetN\\ \Haut{0.45}f\hbox{ non continue sur }I\\ \end{array}\right.% $$ la convergence ne peut pas être uniforme. C'est un moyen simple et efficace de montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme.

Exercice.^¹⁷

Considérons la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $\SetR$ par $f_n(x)\=e^{-n.x^2}$. Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers une application $f$ que l'on déterminera puis montrer que la convergence n'est pas uniforme.

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.4. Non conservation de la dérivabilité.

Exercice.^¹⁸

Posons $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$

Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers une application $f$ que l'on déterminera.
En déduire que la dérivabilité n'est pas conservée par CS/CU/CUS

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.5. Polynômes.

Exercice.^¹⁹

Soit $(P_n)$ une suite de polynômes définis sur $\SetR$.

Montrer que si l'on n'a que $P_n\tendversCS f$ sur $\SetR$, on peut très bien avoir $f$ non polynôme.
Montrer que si $P_n\tendversCU f$ sur $\SetR$ alors $f$ est un polynôme. Indice : on pourra montrer qu'à partir d'un certain rang $N$, $P_n-P_N\in\SetR$.
Supposons à présent $P_n\tendversCS f$ et que la suite de polynômes soit une suite de $\SetR_m[X]$ avec $m$ dans $\SetN$. Montrer que $f$ est un polynôme.

Théorème - Bernstein-Weierstrass.^²⁰

Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de polynômes.

II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.

II.6. Résumé.

Résumé des propriétés conservées ou non.

Déterminer si les propriétés suivantes sont conservées par CS, CUS ou par CU. $$\begin{array} {|ll|c|c|c|}% \hline &&&&\\ &\text{Propriété conservée par }& ~CS~ & CUS & ~CU~ \\ &&&&\\ \hline \hline 1.&\text{Positivité }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\ \hline 2.&\text{Injectivité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\ \hline 3.&\text{Surjectivité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\ \hline 4.&\text{Continuité }&\text{Non}&\text{Oui}&\text{Oui}\\ \hline 5.&\text{Dérivabilité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\ \hline 6.&\text{Être bornée }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Oui}\\ \hline 7.&\text{Être bornée de manière uniforme}^{*}&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\ \hline 8.&\text{Être lipschitzienne }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\ \hline 9.&\text{Être }\lambda\text{-lipschitzienne }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\ \hline 10.&\text{Être une application linéaire }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\ \hline 11.&\text{Être un polynôme sur un segment }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\ \hline 12.&\text{Être un polynôme sur $\SetR$ }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Oui}\\ \hline \end{array}$$

(*) bornée de manière uniforme signifie qu'il existe un $M$ qui borne tous les $f_n$, c'est-à-dire : $\exists M\in\SetR,\:\forall n\in\SetN,\:|f_n|\leq M$