$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
|
| sous-section | |
|
|
|
| Ici sera la liste des chapitres !!! |
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.1. Conservation de l'ordre.
Théorème.11
Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ des suites de fonctions convergent simplement vers $f$ et $g$ alors :
$$\forall n\in\SetN,\:\:\:f_n\leq g_n\hskip0.5cm\Longrightarrow \hskip0.5cm f\leq g$$
Il en est donc de même si la convergence est une CUS, CU, CN.
Conséquences.12
La CS $($et donc la CUS/CU/CN$)$ conserve toutes les notions définies par une égalité ou une inégalité. Par exemple, elle conserve :
- la parité,
- la périodicité $($avec une période commune pour toutes les fonctions de la suite$)$,
- la positivité,
- la monotonie,
- la convexité/concavité,
- les fonctions $\lambda$-lipschitzienne $($avec un $\lambda$ commun pour toutes les fonctions de la suite$)$,
- les applications linéaires.
Exercice - limite de fonctions lipschitziennes.13
Soit $f_n$ une application de $\SetR$ qui soit $\lambda_n$ lipschitzienne et telle que $f_n\tendversCS f$.
- Supposons dans cette question que $I=\SetR^+$ et que : $$f_n(x)=\sqrt{x+\frac{1}{n}}$$
Montrer que $f_n$ converge uniformément vers la fonction racine.
- En déduire que la limite uniforme $($donc simple aussi$)$ de fonctions lipschitziennes n'est pas forcément lipschitzienne.
- Montrer que si la suite $(\lambda_n)$ est bornée alors $f$ est lipschitzienne.
Exercice - limite de fonctions bornées.14
Soit $(f_n)$ une suite d'applications bornées qui converge simplement vers $f$.
- Montrer que $f$ peut ne pas être bornée.
- Montrer que s'il existe une même constante $M$ qui majore tous les $f_n$, alors $f$ est bornée
- Montrer que si $f_n\tendversCU f$ alors $f$ est bornée.
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.2. Non conservation de l'injectivité et de la surjectivité.
Exercice.15
Soient $n$ dans $\SetN\setminus\{0;1\}$ et $f_n$, $g_n$ les fonctions de $\SetR$ dans $\SetR$ définies par :
$$f_n(x)\=\left\{\begin{array} {lll}%
x+\frac{1}{n}&\hbox{si}&x<0\\
1&\hbox{si}&x=0\\
x-\frac{1}{n}&\hbox{si}&x>0\\
\end{array}%
\right.\hskip2cm g_n(x)=\frac{1}{n}\arctan(x)$$
- Tracer les fonctions $f_n$ et $g_n$. Sont-elles injectives ? Surjectives ?
- Montrer que $f_n$ et $g_n$ convergent uniformément vers des fonctions $f$ et $g$ que l'on précisera. Les applications $f$ et $g$ sont-elles injectives ? surjectives ?
- En déduire l'injectivité et la surjectivité ne sont pas conservées par CS ou CU.
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.3. Conservation de continuité par CU.
Théorème.16
$$\left\{\begin{array} {lcc}%
f_n\tendversCUS f\\
\Haut{0.45}f_n\hbox{ continues sur }I
\end{array}%
\right.\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm f\hbox{ continue sur }I$$
Remarques.
- Comme le montre l'exemple la suite $f_n(x)=x^n$ définie sur $[0,1]$, la convergence simple ne conserve pas la continuité.
- On remarque que si
$$\left\{\begin{array} {l}%
f_n\tendversCS f\\
\Haut{0.45}f_n\hbox{ continues sur }I\hbox{ pour tout }n\hbox{ de }\SetN\\
\Haut{0.45}f\hbox{ non continue sur }I\\
\end{array}\right.%
$$
la convergence ne peut pas être uniforme. C'est un moyen simple et efficace de montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme.
Exercice.17
Considérons la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $\SetR$ par $f_n(x)\=e^{-n.x^2}$. Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers une application $f$ que l'on déterminera puis montrer que la convergence n'est pas uniforme.
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.4. Non conservation de la dérivabilité.
Exercice.18
Posons $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$
- Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers une application $f$ que l'on déterminera.
- En déduire que la dérivabilité n'est pas conservée par CS/CU/CUS
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.5. Polynômes.
Exercice.19
Soit $(P_n)$ une suite de polynômes définis sur $\SetR$.
- Montrer que si l'on n'a que $P_n\tendversCS f$ sur $\SetR$, on peut très bien avoir $f$ non polynôme.
- Montrer que si $P_n\tendversCU f$ sur $\SetR$ alors $f$ est un polynôme.
Indice : on pourra montrer qu'à partir d'un certain rang $N$, $P_n-P_N\in\SetR$.
- Supposons à présent $P_n\tendversCS f$ et que la suite de polynômes soit une suite de $\SetR_m[X]$ avec $m$ dans $\SetN$. Montrer que $f$ est un polynôme.
Théorème - Bernstein-Weierstrass.20
Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de polynômes.
|
II. Propriétés conservées ou non par CS/CU.
II.6. Résumé.
Résumé des propriétés conservées ou non.
Déterminer si les propriétés suivantes sont conservées par CS, CUS ou par CU.
$$\begin{array} {|ll|c|c|c|}%
\hline
&&&&\\
&\text{Propriété conservée par }& ~CS~ & CUS & ~CU~ \\
&&&&\\
\hline
\hline
1.&\text{Positivité }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\
\hline
2.&\text{Injectivité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\
\hline
3.&\text{Surjectivité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\
\hline
4.&\text{Continuité }&\text{Non}&\text{Oui}&\text{Oui}\\
\hline
5.&\text{Dérivabilité }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\
\hline
6.&\text{Être bornée }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Oui}\\
\hline
7.&\text{Être bornée de manière uniforme}^{*}&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\
\hline
8.&\text{Être lipschitzienne }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\
\hline
9.&\text{Être }\lambda\text{-lipschitzienne }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\
\hline
10.&\text{Être une application linéaire }&\text{Oui}&\text{Oui}&\text{Oui}\\
\hline
11.&\text{Être un polynôme sur un segment }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Non}\\
\hline
12.&\text{Être un polynôme sur $\SetR$ }&\text{Non}&\text{Non}&\text{Oui}\\
\hline
\end{array}$$
(*) bornée de manière uniforme signifie qu'il existe un $M$ qui borne tous les $f_n$, c'est-à-dire : $\exists M\in\SetR,\:\forall n\in\SetN,\:|f_n|\leq M$
|
