$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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IV. Chaine de Markov.
IV.1. Matrices Stochastiques.
Définition.
- Une matrice stochastique $($resp.strictement stochastique$)$ est une matrice à coefficients positifs $($resp. strictement positis$)$ dont la somme des coefficients de chaque ligne fait 1.
De manière formelle, on a :
$$A=(a_{ij})\in\text{Sto}_n(\SetR)\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:
\left\{\begin{array}{cl}
\\[-0.2cm]
\forall i,j\in[\![1,n]\!],&\ds a_{ij}\geq 0\\
\forall i\in[\![1,n]\!],&\ds\sum_{j=1}^na_{ij}=1\\
\end{array}\right.$$
- Une matrice est anti-stochastique $($resp. strictement anti-stochastique$)$ si sa transposée est stochastique $($resp. strictement stochastique$)$
Exercice - Caractérisation et structure.25
Notons $U$ la matrice colonne de $\mathcal{M}_{n1}(\SetR)$ ne contenant que des 1.
- Montrer que la matrice $A=(a_{ij})$ est stochastique si et seulement si :
$$\left\{\:\begin{array}{l}
\forall i,j\in[\![1,n]\!],\:\:a_{ij}\geq 0\\[0.15cm]
AU=U\\
\end{array}\right.$$
- Montrer que le produit de matrices stochastiques est encore stochastique.
- Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est un convexe de $\mathcal{M_n}(\SetR)$.
- Que se passe-t-il dans le cas des matrices anti-stochastiques ?
Exercice - Valeurs propres.26
Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique, $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X=(x_1\:...\:x_n)^T$ un vecteur propre associé.
- Soit $i_0$ l'indice vérifiant :
$$|x_{i_0}|\=\|X\|_\infty\=\mathop{\text{Max}}\Big\{|x_1|,\:|x_2|,\:...,\:|x_n|\Big\}$$
Montrer que :
$$\lambda x_{i_0}\=\sum_{j=1}^na_{i_0j}x_j$$
- Montrer que 1 est une valeur propre de $A$. Donner un de ses vecteurs propres.
- Montrer que les valeurs propres $\lambda$ de $A$ vérifie $|\lambda|\leq 1$.
- Supposons que $A$ est strictement stochastique.
Rappeler le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, puis montrer que : $$|\lambda|= 1\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm x_1=x_2=...=x_n$$
- En déduire que pour une matrice strictement stochastique :
$$
\left\{\begin{array}{ll}
\lambda=1\:\text{ ou }\:|\lambda|<1 \\
E_1\=\text{Vect}(U)\\
\end{array}
\right.
$$
- Montrer que pour tout $M$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$, on a $\PCar{A}=\PCar{A^T}$. En déduire que les résultats pourtant sur les valeurs propres d'une matrices anti-stochastique sont similaires.
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IV. Chaine de Markov.
IV.2. Chaines de Markov.
Définition.
Une chaine de Markov $($homogène et discrète$)$ est une expérience aléatoire caractérisée par un nombre fini d'états.
La probabilité pour passer d'un état à un autre est fixe et entièrement déterminé par l'état actuel. On dit que le système est sans mémoire.
De manière formelle, une chaine de Markov est une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\in\SetN}$ à valeurs dans un ensemble $E=[\![1,p]\!]$ appelé l'ensemble des états et vérifiant pour tous $i_0$, $i_1$,..., $i_n$, $i$, $j$ de $E$ et tous $n$ de $\SetN$ :
$$
\begin{array}{ll}
P(X_{n+1}=i\:|\:X_{0}=i_0, ..., X_{n}=i_n)\=P(X_{n+1}=i\:|\:X_{n}=i_n)&\text{Sans mémoire}\\
P(X_{n+1}=i\:|\:X_{n}=j)\=P(X_{n}=i\:|\:X_{n-1}=j)&\text{Homogène}\\
\end{array}
$$
Modélisation et méthode.27
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IV. Chaine de Markov.
IV.3. Exemple.
Exercice.28
Trois joueurs $A$, $B$ et $C$ jouent au ballon :
-
Le joueur $A$ passe le ballon à $B$ avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ et à $C$ avec une probabilité de $\frac{2}{3}$
-
Le joueur $B$ passe le ballon à $A$ avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ et à $C$ avec une probabilité de $\frac{2}{3}$
-
Le joueur $C$ passe le ballon à $A$ avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ et à $B$ avec une probabilité de $\frac{2}{3}$
Considérons les événements suivant :
$$\left\{\begin{array} {ccc}%
A_n&:&\text{le joueur }A\text{ a le ballon au }n^{ième}\text{ lancer.}\\
B_n&:&\text{le joueur }B\text{ a le ballon au }n^{ième}\text{ lancer.}\\
C_n&:&\text{le joueur }C\text{ a le ballon au }n^{ième}\text{ lancer.}\\
\end{array}%
\right.$$
-
Déterminer une matrice $M$ telle que pour tout $n$ de $\SetN$
$$Y_{n+1}=M\times Y_n\hskip2cm\text{avec}\hskip1.5cm Y_n=\left(\begin{array} {ccc}%
P(A_n)\\
P(B_n)\\
P(C_n)\\
\end{array}\right)%
$$
-
Déterminer la limite de la suite $(Y_n)$
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