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Psi - Math - Lycée Alphone Daudet
Cours

Probabilités.

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IV. Chaine de Markov.

          IV.1. Matrices Stochastiques.


Définition.
  1. Une matrice stochastique $($resp.strictement stochastique$)$ est une matrice à coefficients positifs $($resp. strictement positis$)$ dont la somme des coefficients de chaque ligne fait 1. De manière formelle, on a : $$A=(a_{ij})\in\text{Sto}_n(\SetR)\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\: \left\{\begin{array}{cl} \\[-0.2cm] \forall i,j\in[\![1,n]\!],&\ds a_{ij}\geq 0\\ \forall i\in[\![1,n]\!],&\ds\sum_{j=1}^na_{ij}=1\\ \end{array}\right.$$
  2. Une matrice est anti-stochastique $($resp. strictement anti-stochastique$)$ si sa transposée est stochastique $($resp. strictement stochastique$)$


Exercice - Caractérisation et structure.25
Notons $U$ la matrice colonne de $\mathcal{M}_{n1}(\SetR)$ ne contenant que des 1.
  1. Montrer que la matrice $A=(a_{ij})$ est stochastique si et seulement si : $$\left\{\:\begin{array}{l} \forall i,j\in[\![1,n]\!],\:\:a_{ij}\geq 0\\[0.15cm] AU=U\\ \end{array}\right.$$
  2. Montrer que le produit de matrices stochastiques est encore stochastique.
  3. Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est un convexe de $\mathcal{M_n}(\SetR)$.
  4. Que se passe-t-il dans le cas des matrices anti-stochastiques ?


Exercice - Valeurs propres.26
Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique, $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X=(x_1\:...\:x_n)^T$ un vecteur propre associé.
  1. Soit $i_0$ l'indice vérifiant : $$|x_{i_0}|\=\|X\|_\infty\=\mathop{\text{Max}}\Big\{|x_1|,\:|x_2|,\:...,\:|x_n|\Big\}$$ Montrer que : $$\lambda x_{i_0}\=\sum_{j=1}^na_{i_0j}x_j$$
  2. Montrer que 1 est une valeur propre de $A$. Donner un de ses vecteurs propres.
  3. Montrer que les valeurs propres $\lambda$ de $A$ vérifie $|\lambda|\leq 1$.
  4. Supposons que $A$ est strictement stochastique. Rappeler le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, puis montrer que : $$|\lambda|= 1\hskip0.5cm\Longrightarrow\hskip0.5cm x_1=x_2=...=x_n$$
  5. En déduire que pour une matrice strictement stochastique : $$ \left\{\begin{array}{ll} \lambda=1\:\text{ ou }\:|\lambda|<1 \\ E_1\=\text{Vect}(U)\\ \end{array} \right. $$
  6. Montrer que pour tout $M$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$, on a $\PCar{A}=\PCar{A^T}$. En déduire que les résultats pourtant sur les valeurs propres d'une matrices anti-stochastique sont similaires.