Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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sous-section

I. Modélisation de l'expérience.

I.4. Les événements.

Définition.

Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$. L'événement $A$ est réalisé si et seulement si le résultat de l'expérience aléatoire appartient à $A$. On note en général $\mathcal{A}$ l'ensemble des événements.
Il y a certaines contraintes pour choisir les événements. On devra avoir :
- $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire,
- $\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable,
- $\Omega\in\mathcal{A}$.
On dit que $\mathcal{A}$ est une tribu.
Un couple $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$ est appelé un espace probabilisable.

Propriétés.^¹

Toute tribu contient $\emptyset$ et est stable par intersection dénombrable.

Remarques.

Quand $\Omega$ est dénombrable, on prend très souvent $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
Même si $\Omega$ est dénombrable, $\mathcal{A}$ peut très bien ne pas l'être.

Vocabulaire.

$$\begin{array} {|c|c|}% \hline &\\ \hskip0.5cm\text{Événements} \hskip0.5cm& \hskip0.5cm \text{Ensembles}\hskip0.5cm~\\ &\\ \hline \hline \Haut{0.45}\text{Événement certain}& \Omega\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement impossible}& \emptyset\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B & A\cap B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ ou } B & A\cup B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B \text{ incompatibles} & A\cap B=\emptyset\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement contraire de }A & \bar{A}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement élémentaires }& \text{singletons}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Il existe un }A_i\text{ réalisé}& \ds\bigcup_{i\in I}A_i\\ \hline \Haut{0.45}\text{Tous les }A_i\text{ sont réalisés}& \ds\bigcap_{i\in I}A_i\\ \hline \end{array}% $$

Exemple.

On lance un dé à 6 faces. On prend $\Omega=\{1,...,6\}$. $$\begin{array} {lcl}% \text{Événement A : "le résultat est paire" }&:& A=\{2,4,6\}\\ \text{Événement A : "le résultat est supérieur ou égal à 5 " }&:& A=\{5,6\}\\ \text{Événements élémentaires }&:& \{1\},\:\{2\},\:...,\:\{5\},\:\{6\}\\ \end{array}% $$

I. Modélisation de l'expérience.

I.6. Probabilité.

Définitions.

Notons Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité $p$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- $p\left(\Haut{0.35}\Omega\right)=1$
- $\ds p\left(\bigsqcup_{i\in\SetN}A_i\right)\=\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)$ pour toute suite d'événements incompatible $(A_i)_{i\in\SetN}$.
Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},p)$ est appelé un espace probabilisé.
Un événement est dit presque sûr si $p(A)=1$ et négligeable si $p(A)=0$.

Remarque.

Pour toute suite d'événements $\:\:(A_i)_{i\in\SetN}\:\:$ la série $\:\:\sum p(A_i)\:\:$ est une série à termes positifs, elle a donc une limite dans $\overline{\SetR}^{\:+}$. Cette limite sera notée $\ds\:\:\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)\:\:$. Ainsi les égalités ou les inégalités de la suite du chapitre sont à prendre dans $\overline{\SetR}$.

Propriétés.^³

Soient $n$ dans $\SetN$ et $A$, $B$, $A_i$ avec $i$ dans $\{1,...,n\}$ des événements :

$p(\emptyset)=0$.
$\ds p\left(A_1\:\sqcup\:...\:\sqcup \:A_n\right)\=p(A_1)\:+\:...\:+\:p(A_n)\hskip0.5cm\:$ $($le point 2 de la définition pour une réunion finie$)$.
Si $\:A\subset B\:$ alors $\:p(A)\leq p(B)$.
$p(A\setminus B)\=p(A)\:-\:p(A\cap B)$
$p(\bar{A})\=1\:-\:p(A)$
$p(A\cup B)\=p(A)\:+\:p(B)\:-\:p(A\cap B)$
$\ds p\left(\bigcup_{i=0}^n A_i\right)\:\:\leq\:\:\sum_{i=0}^n p(A_i)\:\:\hskip1.4cm($sous additivité$)$

Propriétés et monotonie.^⁴

Si $(A_i)$ est croissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1.4cm($continuité croissante$)$
Si $(A_i)$ est décroissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1cm($continuité décroissante$)$

Exercice.^⁵

Soit $(A_n)$ une suite d'événements. Montrer que : $$ \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcup_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}A_k\right) \hskip2cm \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcap_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}A_k\right) $$

Exercice.^⁶

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir face. Montrer que l'événement $A$="le jeu s'arrête" est presque sûr. Pourtant cela ne signifie pas que le jeu se finisse.

Exercice.^⁷

Soient $p_1$ et $p_2$ dans $\left]0,1\right]$. Deux archers tirent chacun leur tour sur une cible. Le premier qui touche a gagné. Le joueur qui commence a la probabilité $p_1$ de toucher à chaque tour et le second la probabilité $p_2$.

Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?
Montrer qu'il est quasi-certain que le jeu se termine.
Pour quelle(s) valeur(s) de $p_1$ existe-t-il une valeur de $p_2$ pour laquelle le jeu est équitable ?

I. Modélisation de l'expérience.

I.8. Propriétés fondamentales dans le cas dénombrable.

Propriétés.^⁸

Soit $(\Omega,\mathcal{A},p)$ un espace probabilisé avec $\Omega$ dénombrable et $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.

Une probabilité est entièrement déterminée par ses valeurs sur les événements élémentaires.
De plus :
- Si $A=\{a_1,...,a_n\}$ $($donc $A$ est fini$)$ alors : $\:\ds p(A)=\sum_{i=1}^np(\{a_i\})$
- Si $A=\{a_1, a_2,...\}$ $($donc $A$ est dénombrable$)$ alors : $\:\ds p(A)=\sum_{i=1}^{+\infty}p(\{a_i\})$

Remarques.

Ainsi pour définir une probabilité sur un espace $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\Omega$ dénombrable, il suffit de choisir les valeurs des probabilités des événements élémentaires de telle sorte que leur somme fasse 1.
On admettra que la somme $\:\ds\sum_{i=0}^{+\infty}p(\{a_i\})\:$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel on prend les éléments $a_i$. Ceci est vrai car les séries considérées sont à termes positifs

Exemple.

On lance un dé à 6 faces et on prend $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Exemple de probabilités :

$$ \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}% \hline ~~~~x_i~~~~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \hbox{Commentaire}\\ \hline \hline ~~~~p_1(x_i)~~~~ & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & \hbox{Equiprobabilité}\\ \hline p_2(x_i) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \hbox{Dé pipé faisant toujours 6}\\ \hline p_3(x_i) & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 2/6 & 1/6 & \hbox{Dé où le 1 a été transformé en 5}\\ \hline \end{array}% $$

Exemple - l'équiprobabilité.

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable avec $\Omega$ fini. La probabilité : $$p(A)\:\=\:\frac{card(A)}{card(\Omega)}\:\=\:\frac{\hbox{Nombre de cas favorables}}{\hbox{Nombre de cas total}}$$ est appelé équiprobabilité ou probabilité uniforme, puisque les événements élémentaires ont tous la même probabilité : $\frac{1}{card(\Omega)}$.