$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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I. Modélisation de l'expérience.
I.1. Ensembles dénombrables
Définitions.
- Un ensemble est dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec $\SetN$.
- Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s'il est fini ou s'il est dénombrable.
Résultats en vrac sur les dénombrables.
- Tout ensemble au plus dénombrable peut être écrit en extension sous la forme $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ ou $\{x_1,x_2,...\}$ .
- $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$ sont dénombrables tandis que $\SetR$ et tout intervalle de $\SetR$ d'intérieur non vide ne sont pas dénombrables.
- Un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est encore dénombrable.
- Une réunion au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est encore dénombrable. C'est-à-dire pour tout ensemble $I$ au plus dénombrable :
$$\forall i\in I,\:\: A_i\text{ dénombrable}\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:\bigcup_{i\in I}A_i\text{ dénombrable}$$
- Tout sous-ensemble d'un dénombrable est au plus dénombrable.
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I. Modélisation de l'expérience.
I.2. Comment modéliser une expérience aléatoire ?
Pour modéliser une expérience aléatoire, on a besoin de 3 objets :
- Un univers : ensemble qui représente les issues possibles de l'expérience.
- Des événements : ce sous des sous-ensembles de l'univers.
- Une probabilité : elle mesure la "chance" de voir un événement réalisé.
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I. Modélisation de l'expérience.
I.3. L'univers
Définition.
A chaque issue de l'expérience, on associe un objet mathématique. L'ensemble de ces objets est appelé univers ou ensemble des possibles. On le note très souvent $\Omega$.
Exemples.
-
On jette un dé à 6 faces, on peut prendre $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
-
On jette deux dés à 6 faces l'un après l'autre, on peut prendre $\Omega=\{(1,1),(1,2),...,(6,6)\}=\{1,2,3,4,5,6\}^2$.
-
On jette deux dés à 6 faces simultanément, on peut prendre $\Omega$ l'ensemble des 2-combinaison de $\{1,2,3,4,5,6\}^2$.
-
On joue à pile ou face 5 fois de suite, on peut prendre $\Omega=\{P, F\}^5$
-
On regarde la durée de vie d'une ampoule, on peut prendre $\Omega=\SetR^+$
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I. Modélisation de l'expérience.
I.4. Les événements.
Définition.
-
Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$. L'événement $A$ est réalisé si et seulement si le résultat de l'expérience aléatoire appartient à $A$. On note en général $\mathcal{A}$ l'ensemble des événements.
- Il y a certaines contraintes pour choisir les événements. On devra avoir :
- $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire,
- $\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable,
- $\Omega\in\mathcal{A}$.
On dit que $\mathcal{A}$ est une tribu.
- Un couple $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$ est appelé un espace probabilisable.
Propriétés.1
Toute tribu contient $\emptyset$ et est stable par intersection dénombrable.
Remarques.
- Quand $\Omega$ est dénombrable, on prend très souvent $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
- Même si $\Omega$ est dénombrable, $\mathcal{A}$ peut très bien ne pas l'être.
Vocabulaire.
$$\begin{array} {|c|c|}%
\hline
&\\
\hskip0.5cm\text{Événements} \hskip0.5cm& \hskip0.5cm \text{Ensembles}\hskip0.5cm~\\
&\\
\hline
\hline
\Haut{0.45}\text{Événement certain}& \Omega\\
\hline
\Haut{0.45}\text{Événement impossible}& \emptyset\\
\hline
\Haut{0.45}A \text{ et } B & A\cap B\\
\hline
\Haut{0.45}A \text{ ou } B & A\cup B\\
\hline
\Haut{0.45}A \text{ et } B \text{ incompatibles} & A\cap B=\emptyset\\
\hline
\Haut{0.45}\text{Événement contraire de }A & \bar{A}\\
\hline
\Haut{0.45}\text{Événement élémentaires }& \text{singletons}\\
\hline
\Haut{0.45}\text{Il existe un }A_i\text{ réalisé}& \ds\bigcup_{i\in I}A_i\\
\hline
\Haut{0.45}\text{Tous les }A_i\text{ sont réalisés}& \ds\bigcap_{i\in I}A_i\\
\hline
\end{array}%
$$
Exemple.
On lance un dé à 6 faces. On prend $\Omega=\{1,...,6\}$.
$$\begin{array} {lcl}%
\text{Événement A : "le résultat est paire" }&:& A=\{2,4,6\}\\
\text{Événement A : "le résultat est supérieur ou égal à 5 " }&:& A=\{5,6\}\\
\text{Événements élémentaires }&:& \{1\},\:\{2\},\:...,\:\{5\},\:\{6\}\\
\end{array}%
$$
|
I. Modélisation de l'expérience.
I.5. Réunion disjointe.
Définition.
Soit $(A_i)_{i\in\SetN}$ une suite d'ensembles.
- $A_1\:\sqcup\: A_2\:\sqcup\: ... \:\sqcup\: A_n$ désigne à la fois
- l'ensemble : $A_1\:\cup\: A_2\:\cup\: ...\: \cup\: A_n$ et
- la proposition : $A_1,\:...,\:A_n$ incompatibles deux à deux $($disjoints deux à deux$)$.
- De même pour une infinité d'ensembles : $A_1\:\sqcup\: A_2\:\sqcup\: ...\:\:$ ou encore $\:\:\ds\bigsqcup_{i\in\SetN}A_i\:\:$ est :
- l'ensemble : $A_1 \:\cup\: A_2\:\cup\: ...\:$ et
- la proposition : $\:(A_i)_{i\in\SetN}\:$ incompatibles deux à deux $($disjoints deux à deux$)$.
Propriété.2
L'intersection est en quelque sorte distributive par rapport à la réunion disjointe c'est-à-dire Pour une famille $(A_i)$ d'événements incompatibles deux à deux et pour tout événement $B$, on a :
$$\begin{array}{lrcl}
\text{Cas fini}\hskip2cm~ &\ds B\:\cap\:\left(A_1\:\sqcup\:...\:\sqcup\:A_n\right)&\:=\:&\left(B\:\cap\:A_1\right)\:\sqcup\:...\:\sqcup\:\left(B\:\cap\:A_n\right)\\[0.3cm]
\text{Cas infini} &\ds B\:\cap\:\bigsqcup_{i\in I}A_i&\:=\:&\ds\bigsqcup_{i\in I}\left(B\:\cap\:A_i\right)
\end{array}$$
Remarque.
Comme pour la somme directe de sev $F\oplus G$, la réunion disjointe est à la fois un ensemble et une proposition. Ainsi, pour montrer que $A=B\sqcup C$, il faut montrer que $\:A=B\cup C\:$ et $\:B\cap C=\emptyset\:$.
|
I. Modélisation de l'expérience.
I.6. Probabilité.
Définitions.
-
Notons Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité $p$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- $p\left(\Haut{0.35}\Omega\right)=1$
- $\ds p\left(\bigsqcup_{i\in\SetN}A_i\right)\=\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)$ pour toute suite d'événements incompatible $(A_i)_{i\in\SetN}$.
- Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},p)$ est appelé un espace probabilisé.
- Un événement est dit presque sûr si $p(A)=1$ et négligeable si $p(A)=0$.
Remarque.
Pour toute suite d'événements $\:\:(A_i)_{i\in\SetN}\:\:$ la série $\:\:\sum p(A_i)\:\:$ est une série à termes positifs, elle a donc une limite dans $\overline{\SetR}^{\:+}$. Cette limite sera notée $\ds\:\:\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)\:\:$. Ainsi les égalités ou les inégalités de la suite du chapitre sont à prendre dans $\overline{\SetR}$.
Propriétés.3
Soient $n$ dans $\SetN$ et $A$, $B$, $A_i$ avec $i$ dans $\{1,...,n\}$ des événements :
- $p(\emptyset)=0$.
- $\ds p\left(A_1\:\sqcup\:...\:\sqcup \:A_n\right)\=p(A_1)\:+\:...\:+\:p(A_n)\hskip0.5cm\:$ $($le point 2 de la définition pour une réunion finie$)$.
- Si $\:A\subset B\:$ alors $\:p(A)\leq p(B)$.
- $p(A\setminus B)\=p(A)\:-\:p(A\cap B)$
- $p(\bar{A})\=1\:-\:p(A)$
- $p(A\cup B)\=p(A)\:+\:p(B)\:-\:p(A\cap B)$
- $\ds p\left(\bigcup_{i=0}^n A_i\right)\:\:\leq\:\:\sum_{i=0}^n p(A_i)\:\:\hskip1.4cm($sous additivité$)$
Propriétés et monotonie.4
- Si $(A_i)$ est croissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1.4cm($continuité croissante$)$
- Si $(A_i)$ est décroissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1cm($continuité décroissante$)$
Exercice.5
Soit $(A_n)$ une suite d'événements. Montrer que :
$$
\limite{n}{+\infty}P\left(\bigcup_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}A_k\right)
\hskip2cm
\limite{n}{+\infty}P\left(\bigcap_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}A_k\right)
$$
Exercice.6
On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir face. Montrer que l'événement $A$="le jeu s'arrête" est presque sûr. Pourtant cela ne signifie pas que le jeu se finisse.
Exercice.7
Soient $p_1$ et $p_2$ dans $\left]0,1\right]$. Deux archers tirent chacun leur tour sur une cible. Le premier qui touche a gagné. Le
joueur qui commence a la probabilité $p_1$ de toucher à chaque tour et le second la
probabilité $p_2$.
-
Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?
-
Montrer qu'il est quasi-certain que le jeu se termine.
-
Pour quelle(s) valeur(s) de $p_1$ existe-t-il une valeur de
$p_2$ pour laquelle le jeu est équitable ?
|
I. Modélisation de l'expérience.
I.7. Système complet d'événements.
Définitions.
- La famille d'événements $\:(A_i)_{i\in I}\:$ de $\:(\Omega,\mathcal{A})\:$ est un système complet dénombrable d'événements $($SCDE$)$ si et seulement si :
$$\Omega\=\ds\bigsqcup_{i\in I}A_i\hskip1cm\hbox{et}\hskip1cm I\:\:\hbox{ est au plus dénombrable}$$
- La famille d'événements $\:(A_i)_{i\in I}\:$ de $\:(\Omega,\mathcal{A})\:$ est un système quasi-complet dénombrable d'événements $($SQCDE$)$ si et seulement si :
$$\ds\bigsqcup_{i\in I}A_i\:\text{ presque sûr}\hskip1cm\hbox{et}\hskip1cm I\:\:\hbox{ est au plus dénombrable}$$
Exemple.
- $(A,B)$ est un SCDE si et seulement si $\:B=\bar{A}$.
- $(A,B,C)$ est un SCDE si et seulement si $\:\Omega=A\sqcup B\sqcup C$.
Remarques.
- Moralement, un SQCDE est un SCDE dans lequel on a enlevé certains/tous les événements négligeables.
- Un SCDE est l'équivalent en langage probabiliste d'une partition, à une exception près. Dans une partition les ensembles doivent être non vides, ce n'est pas demandé dans un SCDE.
-
Dans un SCDE, quitte à compléter par des ensembles vides et à renuméroter les éléments, on peut toujours considérer que la famille est indéxée par $\SetN$. Par exemple, si les SCDE est $(A,B,C)$, il devient $(A_i)_{i\in\SetN}$ avec $A_0=A$, $A_1=B$, $A_2=C$ et $A_p=\emptyset$ pour $p\geq 3$.
Exemple.
On tire une boule dans une urne contenant des boules rouges et vertes. Considérons les événements :
- $A_1$="La boule tirée est un boule rouge"
- $A_2$="La boule tirée est une boule verte"
Alors $(A_1,A_2)$ est un système complet d'événements.
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I. Modélisation de l'expérience.
I.8. Propriétés fondamentales dans le cas dénombrable.
Propriétés.8
Soit $(\Omega,\mathcal{A},p)$ un espace probabilisé avec $\Omega$ dénombrable et $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
- Une probabilité est entièrement déterminée par ses valeurs sur les événements élémentaires.
- De plus :
- Si $A=\{a_1,...,a_n\}$ $($donc $A$ est fini$)$ alors : $\:\ds p(A)=\sum_{i=1}^np(\{a_i\})$
- Si $A=\{a_1, a_2,...\}$ $($donc $A$ est dénombrable$)$ alors : $\:\ds p(A)=\sum_{i=1}^{+\infty}p(\{a_i\})$
Remarques.
-
Ainsi pour définir une probabilité sur un espace $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\Omega$ dénombrable, il suffit de choisir les valeurs des probabilités des événements élémentaires de telle sorte que leur somme fasse 1.
-
On admettra que la somme $\:\ds\sum_{i=0}^{+\infty}p(\{a_i\})\:$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel on prend les éléments $a_i$. Ceci est vrai car les séries considérées sont à termes positifs
Exemple.
On lance un dé à 6 faces et on prend $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Exemple de probabilités :
$$
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}%
\hline
~~~~x_i~~~~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \hbox{Commentaire}\\
\hline
\hline
~~~~p_1(x_i)~~~~ & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & \hbox{Equiprobabilité}\\
\hline
p_2(x_i) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \hbox{Dé pipé faisant toujours 6}\\
\hline
p_3(x_i) & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 2/6 & 1/6 & \hbox{Dé où le 1 a été transformé en 5}\\
\hline
\end{array}%
$$
Exemple - l'équiprobabilité.
Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable avec $\Omega$ fini. La probabilité :
$$p(A)\:\=\:\frac{card(A)}{card(\Omega)}\:\=\:\frac{\hbox{Nombre de cas favorables}}{\hbox{Nombre de cas total}}$$
est appelé équiprobabilité ou probabilité uniforme, puisque les événements élémentaires ont tous la même probabilité : $\frac{1}{card(\Omega)}$.
|
