Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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I. Modélisation de l'expérience.

I.3. L'univers

Définition.

A chaque issue de l'expérience, on associe un objet mathématique. L'ensemble de ces objets est appelé univers ou ensemble des possibles. On le note très souvent $\Omega$.

Exemples.

On jette un dé à 6 faces, on peut prendre $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
On jette deux dés à 6 faces l'un après l'autre, on peut prendre $\Omega=\{(1,1),(1,2),...,(6,6)\}=\{1,2,3,4,5,6\}^2$.
On jette deux dés à 6 faces simultanément, on peut prendre $\Omega$ l'ensemble des 2-combinaison de $\{1,2,3,4,5,6\}^2$.
On joue à pile ou face 5 fois de suite, on peut prendre $\Omega=\{P, F\}^5$
On regarde la durée de vie d'une ampoule, on peut prendre $\Omega=\SetR^+$

I. Modélisation de l'expérience.

I.4. Les événements.

Définition.

Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$. L'événement $A$ est réalisé si et seulement si le résultat de l'expérience aléatoire appartient à $A$. On note en général $\mathcal{A}$ l'ensemble des événements.
Il y a certaines contraintes pour choisir les événements. On devra avoir :
- $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire,
- $\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable,
- $\Omega\in\mathcal{A}$.
On dit que $\mathcal{A}$ est une tribu.
Un couple $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$ est appelé un espace probabilisable.

Propriétés.^¹

Toute tribu contient $\emptyset$ et est stable par intersection dénombrable.

Remarques.

Quand $\Omega$ est dénombrable, on prend très souvent $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
Même si $\Omega$ est dénombrable, $\mathcal{A}$ peut très bien ne pas l'être.

Vocabulaire.

$$\begin{array} {|c|c|}% \hline &\\ \hskip0.5cm\text{Événements} \hskip0.5cm& \hskip0.5cm \text{Ensembles}\hskip0.5cm~\\ &\\ \hline \hline \Haut{0.45}\text{Événement certain}& \Omega\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement impossible}& \emptyset\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B & A\cap B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ ou } B & A\cup B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B \text{ incompatibles} & A\cap B=\emptyset\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement contraire de }A & \bar{A}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement élémentaires }& \text{singletons}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Il existe un }A_i\text{ réalisé}& \ds\bigcup_{i\in I}A_i\\ \hline \Haut{0.45}\text{Tous les }A_i\text{ sont réalisés}& \ds\bigcap_{i\in I}A_i\\ \hline \end{array}% $$

Exemple.

On lance un dé à 6 faces. On prend $\Omega=\{1,...,6\}$. $$\begin{array} {lcl}% \text{Événement A : "le résultat est paire" }&:& A=\{2,4,6\}\\ \text{Événement A : "le résultat est supérieur ou égal à 5 " }&:& A=\{5,6\}\\ \text{Événements élémentaires }&:& \{1\},\:\{2\},\:...,\:\{5\},\:\{6\}\\ \end{array}% $$

I. Modélisation de l'expérience.

I.6. Probabilité.

Définitions.

Notons Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité $p$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- $p\left(\Haut{0.35}\Omega\right)=1$
- $\ds p\left(\bigsqcup_{i\in\SetN}A_i\right)\=\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)$ pour toute suite d'événements incompatible $(A_i)_{i\in\SetN}$.
Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},p)$ est appelé un espace probabilisé.
Un événement est dit presque sûr si $p(A)=1$ et négligeable si $p(A)=0$.

Remarque.

Pour toute suite d'événements $\:\:(A_i)_{i\in\SetN}\:\:$ la série $\:\:\sum p(A_i)\:\:$ est une série à termes positifs, elle a donc une limite dans $\overline{\SetR}^{\:+}$. Cette limite sera notée $\ds\:\:\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)\:\:$. Ainsi les égalités ou les inégalités de la suite du chapitre sont à prendre dans $\overline{\SetR}$.

Propriétés.^³

Soient $n$ dans $\SetN$ et $A$, $B$, $A_i$ avec $i$ dans $\{1,...,n\}$ des événements :

$p(\emptyset)=0$.
$\ds p\left(A_1\:\sqcup\:...\:\sqcup \:A_n\right)\=p(A_1)\:+\:...\:+\:p(A_n)\hskip0.5cm\:$ $($le point 2 de la définition pour une réunion finie$)$.
Si $\:A\subset B\:$ alors $\:p(A)\leq p(B)$.
$p(A\setminus B)\=p(A)\:-\:p(A\cap B)$
$p(\bar{A})\=1\:-\:p(A)$
$p(A\cup B)\=p(A)\:+\:p(B)\:-\:p(A\cap B)$
$\ds p\left(\bigcup_{i=0}^n A_i\right)\:\:\leq\:\:\sum_{i=0}^n p(A_i)\:\:\hskip1.4cm($sous additivité$)$

Propriétés et monotonie.^⁴

Si $(A_i)$ est croissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1.4cm($continuité croissante$)$
Si $(A_i)$ est décroissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1cm($continuité décroissante$)$

Exercice.^⁵

Soit $(A_n)$ une suite d'événements. Montrer que : $$ \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcup_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}A_k\right) \hskip2cm \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcap_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}A_k\right) $$

Exercice.^⁶

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir face. Montrer que l'événement $A$="le jeu s'arrête" est presque sûr. Pourtant cela ne signifie pas que le jeu se finisse.

Exercice.^⁷

Soient $p_1$ et $p_2$ dans $\left]0,1\right]$. Deux archers tirent chacun leur tour sur une cible. Le premier qui touche a gagné. Le joueur qui commence a la probabilité $p_1$ de toucher à chaque tour et le second la probabilité $p_2$.

Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?
Montrer qu'il est quasi-certain que le jeu se termine.
Pour quelle(s) valeur(s) de $p_1$ existe-t-il une valeur de $p_2$ pour laquelle le jeu est équitable ?