Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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Plan du chapitre

Section

sous-section

I. Modélisation de l'expérience.

I.1. Ensembles dénombrables

Définitions.

Un ensemble est dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec $\SetN$.
Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s'il est fini ou s'il est dénombrable.

Résultats en vrac sur les dénombrables.

Tout ensemble au plus dénombrable peut être écrit en extension sous la forme $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ ou $\{x_1,x_2,...\}$ .
$\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$ sont dénombrables tandis que $\SetR$ et tout intervalle de $\SetR$ d'intérieur non vide ne sont pas dénombrables.
Un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est encore dénombrable.
Une réunion au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est encore dénombrable. C'est-à-dire pour tout ensemble $I$ au plus dénombrable : $$\forall i\in I,\:\: A_i\text{ dénombrable}\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:\bigcup_{i\in I}A_i\text{ dénombrable}$$
Tout sous-ensemble d'un dénombrable est au plus dénombrable.

I. Modélisation de l'expérience.

I.4. Les événements.

Définition.

Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$. L'événement $A$ est réalisé si et seulement si le résultat de l'expérience aléatoire appartient à $A$. On note en général $\mathcal{A}$ l'ensemble des événements.
Il y a certaines contraintes pour choisir les événements. On devra avoir :
- $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire,
- $\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable,
- $\Omega\in\mathcal{A}$.
On dit que $\mathcal{A}$ est une tribu.
Un couple $(\Omega, \mathcal{A})$ avec $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$ est appelé un espace probabilisable.

Propriétés.^¹

Toute tribu contient $\emptyset$ et est stable par intersection dénombrable.

Remarques.

Quand $\Omega$ est dénombrable, on prend très souvent $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
Même si $\Omega$ est dénombrable, $\mathcal{A}$ peut très bien ne pas l'être.

Vocabulaire.

$$\begin{array} {|c|c|}% \hline &\\ \hskip0.5cm\text{Événements} \hskip0.5cm& \hskip0.5cm \text{Ensembles}\hskip0.5cm~\\ &\\ \hline \hline \Haut{0.45}\text{Événement certain}& \Omega\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement impossible}& \emptyset\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B & A\cap B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ ou } B & A\cup B\\ \hline \Haut{0.45}A \text{ et } B \text{ incompatibles} & A\cap B=\emptyset\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement contraire de }A & \bar{A}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Événement élémentaires }& \text{singletons}\\ \hline \Haut{0.45}\text{Il existe un }A_i\text{ réalisé}& \ds\bigcup_{i\in I}A_i\\ \hline \Haut{0.45}\text{Tous les }A_i\text{ sont réalisés}& \ds\bigcap_{i\in I}A_i\\ \hline \end{array}% $$

Exemple.

On lance un dé à 6 faces. On prend $\Omega=\{1,...,6\}$. $$\begin{array} {lcl}% \text{Événement A : "le résultat est paire" }&:& A=\{2,4,6\}\\ \text{Événement A : "le résultat est supérieur ou égal à 5 " }&:& A=\{5,6\}\\ \text{Événements élémentaires }&:& \{1\},\:\{2\},\:...,\:\{5\},\:\{6\}\\ \end{array}% $$

I. Modélisation de l'expérience.

I.6. Probabilité.

Définitions.

Notons Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité $p$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $[0,1]$ vérifiant :
- $p\left(\Haut{0.35}\Omega\right)=1$
- $\ds p\left(\bigsqcup_{i\in\SetN}A_i\right)\=\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)$ pour toute suite d'événements incompatible $(A_i)_{i\in\SetN}$.
Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},p)$ est appelé un espace probabilisé.
Un événement est dit presque sûr si $p(A)=1$ et négligeable si $p(A)=0$.

Remarque.

Pour toute suite d'événements $\:\:(A_i)_{i\in\SetN}\:\:$ la série $\:\:\sum p(A_i)\:\:$ est une série à termes positifs, elle a donc une limite dans $\overline{\SetR}^{\:+}$. Cette limite sera notée $\ds\:\:\sum_{i=0}^{\infty} p(A_i)\:\:$. Ainsi les égalités ou les inégalités de la suite du chapitre sont à prendre dans $\overline{\SetR}$.

Propriétés.^³

Soient $n$ dans $\SetN$ et $A$, $B$, $A_i$ avec $i$ dans $\{1,...,n\}$ des événements :

$p(\emptyset)=0$.
$\ds p\left(A_1\:\sqcup\:...\:\sqcup \:A_n\right)\=p(A_1)\:+\:...\:+\:p(A_n)\hskip0.5cm\:$ $($le point 2 de la définition pour une réunion finie$)$.
Si $\:A\subset B\:$ alors $\:p(A)\leq p(B)$.
$p(A\setminus B)\=p(A)\:-\:p(A\cap B)$
$p(\bar{A})\=1\:-\:p(A)$
$p(A\cup B)\=p(A)\:+\:p(B)\:-\:p(A\cap B)$
$\ds p\left(\bigcup_{i=0}^n A_i\right)\:\:\leq\:\:\sum_{i=0}^n p(A_i)\:\:\hskip1.4cm($sous additivité$)$

Propriétés et monotonie.^⁴

Si $(A_i)$ est croissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1.4cm($continuité croissante$)$
Si $(A_i)$ est décroissante alors : $\ds\limite{i}{+\infty}P(A_i)\=P\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}A_i\right) \hskip1cm($continuité décroissante$)$

Exercice.^⁵

Soit $(A_n)$ une suite d'événements. Montrer que : $$ \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcup_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}A_k\right) \hskip2cm \limite{n}{+\infty}P\left(\bigcap_{k=0}^nA_k\right)\=P\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}A_k\right) $$

Exercice.^⁶

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir face. Montrer que l'événement $A$="le jeu s'arrête" est presque sûr. Pourtant cela ne signifie pas que le jeu se finisse.

Exercice.^⁷

Soient $p_1$ et $p_2$ dans $\left]0,1\right]$. Deux archers tirent chacun leur tour sur une cible. Le premier qui touche a gagné. Le joueur qui commence a la probabilité $p_1$ de toucher à chaque tour et le second la probabilité $p_2$.

Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?
Montrer qu'il est quasi-certain que le jeu se termine.
Pour quelle(s) valeur(s) de $p_1$ existe-t-il une valeur de $p_2$ pour laquelle le jeu est équitable ?