Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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V. Limite et continuité.

V.1. Limite d'une suite

Définition.

Soit $E$ un espace vectoriel préhilbertien réel et $\|.\!.\!.\|$ la norme euclidienne associée. La suite $(u_n)$ tend vers un vecteur $l$ de $E$, et on note $\:u_n\tendvers{n}{+\infty}l\:$, si et seulement si : $$\forall\varepsilon\in\SetR^*_+,\:\exists N\in\SetN,\forall n\geq N,\:\|u_n-l\|\leq\varepsilon$$ C'est la définition de la limite d'une suite réelle en remplaçant la valeur absolue par la norme euclidienne.

Caractérisation.^⁴⁶

On peut toujours se ramener à la convergence d'une suite réelle puisque : $$u_n\tendversNorme{\|\:\:\|}l\:\:\:\:\:\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\:\:\:\:\:\|u_n-l\|\tendvers{n}{+\infty}0$$

Théorème.^⁴⁷

Une suite $(M_n)$ de $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$ tend vers $M$ si et seulement si les coefficients de $(M_n)$ tendent vers les coefficients de $M$.
Une suite $(x_n)$ de $\SetR^n$ tend vers $x$ si et seulement si les coordonnées de $x_n$ tendent vers les coordonnées de $x$.
Soient $(M_n)$ et $(N_n)$ des suites respectives de $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$ et $\mathcal{M}_{qr}(\SetR)$, alors : $$\left\{\begin{array}{ll} M_n\tendvers{n}{+\infty}{M}\\ N_n\tendvers{n}{+\infty}{N}\\ \end{array}\right. \hskip1cm\Longrightarrow\hskip1cm M_nN_n\tendvers{n}{+\infty}{MN}\\ $$

Exemples.

$$n\left(\begin{array} {ccc}% \arctan\left(\frac{1}{n}\right)\\ \cos\left(\frac{1}{n}\right)-1\\ \end{array}% \right)\:\:\tendvers{n}{+\infty}\:\:\left(\begin{array} {ccc}% 1\\ 0 \end{array}% \right) \hskip2cm \frac{1}{n}\left(\begin{array} {ccc}% (-1)^n&n+1\\ \Haut{0.48}n^2\sin\left(\frac{1}{n}\right)&1 \end{array}% \right)\:\:\tendvers{n}{+\infty}\:\:\left(\begin{array} {ccc}% 0&1\\ \Haut{0.48}1&0 \end{array}% \right)$$

Exercice.^⁴⁸

Soit $\|.\!.\|_2$ la norme euclidienne de $\mathcal{M}_p(\SetR)$. Montrer que : $$\forall A,B\in\mathcal{M}_p(\SetR),\:\:{\|AB\|}_2\:\leq\:{\|A\|}_2{\|B\|}_2$$
Notons $(a_{ii}^k)$ les coefficients de la matrice $A^k$. Montrer que : $$\forall i,j\in\{1,..., p\},\forall k\in\SetN,\:|a_{ij}^k[\:\leq\:{\|A\|}_2^k$$
On définit l'exponentielle complexe par : $$\forall A\in\mathcal{M}_p(\SetR),\:\:e^A\:\=\:\sum_{n=0}^\infty\frac{A^n}{n!}$$ Montrer que cette série converge.
Comment calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable $A$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ ?

V. Limite et continuité.

V.2. Quand une notion vous manque... Suites de Cauchy $($HP$)$.

Définition.

Soit $(E,\|.\!.\!.\|)$ un espace vectoriel normé.

Une suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy si et seulement si : $$\forall\varepsilon>0,\:\exists N\in\SetN,\:\forall p,q\geq N, \:\:\|x_p-x_q\|\leq\varepsilon$$ Ainsi, une suite de Cauchy est une suite qui ne "bouge" plus beaucoup à partir d'un certain rang.
On remarquera que les suites convergentes sont des suites de Cauchy. Si la réciproque est vraie, c'est-à-dire que toutes les suites de Cauchy de $E$ convergent alors $E$ est dit complet.
Un espace de Hilbert réel est un préhilbertien réel complet.

Exercice - une suite de Cauchy non convergente.^⁴⁹

Soit $E=C^0([0,1],\SetR)$ muni de son produit scalaire usuel. Considérons pour tout $n$ de $\SetN^*$ l'application $f_n$ de $E$ définie par :

Montrer que pour tous $p$ et $q$ dans $\SetN$ avec $p>q$, on a : $\|f_p-f_q\|\leq\frac{1}{q}$.
En déduire que $(f_n)$ est une suite de Cauchy.
Montrer que si $(f_n)$ converge vers $f$ alors $f$ vaut $1$ sur $[0;\frac{1}{2}]$ et $f$ vaut 0 sur tout intervalle de la forme $[a,1]$ avec $a>\frac{1}{2}$
En déduire que $(f_n)$ ne converge pas dans $E$.