Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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III. Utilisation et fabrication de familles orthogonales.

III.1. Composantes d'un vecteur dans une BON

Théorème.^²⁴

Soient $\left(E,\langle\:,\:\rangle\:\right)$ est un eve et $\beta=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Les coordonnées d'un vecteur $x$ de $E$ peuvent être exprimées à l'aide du pse : $$x\=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k\hskip2cm x\left(\begin{array} {c}% \langle x,e_1\rangle \\ \langle x,e_2\rangle \\ \vdots\\ \langle x,e_n\rangle \\ \end{array}% \right)$$

III. Utilisation et fabrication de familles orthogonales.

III.4. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Théorème.^²⁸

Soit $E$ un préhilbertien réel. On va décrire un procédé qui permet de construire une famille orthogonale $(o_1,o_2,...,o_n)$ à partir d'une famille libre $(l_1,l_2,...,l_n)$ de $E$. Construisons le vecteur $o_k$ par récurrence forte :

Si $k=1$ on pose $o_1=l_1$
Supposons que $o_1,...,o_k$ construits, construisons $o_{k+1}$. $$o_{k+1}\:\=\:l_{k+1}-p(l_{k+1})\:\=\:l_{k+1}\:-\:\sum_{i=1}^k\hbox{$\left\langle l_{k+1},\frac{o_i}{\|o_i\|}\right\rangle \frac{o_i}{\|o_i\|}$}$$ avec $p$ la projection orthogonale de $E$ sur $F_k=Vect(o_1,...,o_k)$.

Vision géométrique de ce qu'on fait.

Remarques.

La famille $\beta=\left(\frac{o_1}{\|o_1\|},...,\frac{o_k}{\|o_k\|}\right)$ est une BON de $F_k$ et l'expression $\ds\sum_{i=1}^k$ $\left\langle l_{k+1},\frac{o_i}{\|o_i\|}\right\rangle \frac{o_i}{\|o_i\|}$ est l'expression du projeté orthogonale de $l_{k+1}$ dans la BON $\beta$.
Si les premiers vecteurs de la famille sont déjà orthogonaux, l'algorithme ne modifie pas ces vecteurs puisque dans l'expression de $o_{k+1}$ les produits scalaires sont nuls.
Une fois l'algorithme effectué, on peut très bien rendre la famille $(o_1,..., o_n)$ orthonormale en divisant chaque vecteur par sa norme. On peut aussi donner une autre condition de normalisation. Par exemple s'il s'agit de polynômes, on peut préférer avoir des polynômes unitaires $($coefficient dominant valant 1$)$ plutôt que normés.

Propriétés.

Soit $(o_1,...,o_n)$ la famille orthogonale construite à partir de $(l_1,...,l_n)$ à l'aide du procédé de Gram-Scmidt.

$\forall k\in\{1,...,n\},\:\text{Vect}(o_1,...,o_k)=\text{Vect}(l_1,...,l_k)$
$\forall k\in\{1,...,n\},\:\left\langle o_k,l_k\right\rangle \:>0$

Exercice.^²⁹

Soit $$\left\{\begin{array}{c} u_1=(1,1,1) \\ u_2=(1,0,1) \\ u_3=(1,1,0) \ \end{array}\right.$$ Effectuer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Scmidt, afin de transformer cette famille libre en base orthonormale.

Exercice.^³⁰

On munit $\SetR_2[X]$ muni du produit scalaire : $$(P/Q)\=\int_{-1}^1P(x)Q(x)dx$$ Utiliser l'algorithme de Gram-Schmidt pour construire une base othogonale de polynômes unitaires à partir de la famille $\:\left(1,X,X^2\right)\:$.