Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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II. Orthogonalité

II.2. Familles orthogonales, familles orthonormales

Définition.

Soit $I=\SetN$ ou $I=\{1,...,n\}$ avec $n$ dans $\SetN^*$.

La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthogonale si et seulement si $x_i\perp x_j$ pour tous $i$ et $j$ différents dans $I$. On note $x_1\perp x_2\perp...$.
La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et si tous les vecteurs ont une norme de 1. En d'autres termes, pour tous $i$ et $j$ de $I$ : $$\langle x_i,x_j\rangle \=\delta_{ij}\=\left\{\begin{array} {ll}% 0&\hbox{si }i\neq j\\ 1&\hbox{si }i= j\\ \end{array} \right.$$

Propriétés.^¹³

Toute famille orthonormale est libre.
Toute famille orthogonale ne présentant pas le vecteur nul, est libre.

Exercice.^¹⁴

Montrer que la base canonique de $\SetR^n$ est une base orthonormée.
Montrer que la base des matrices élémentaires ${(E_{i,j})}_{ij}$ est une base orthonormée de $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$.

Exercice.^¹⁵

Notons $E=C_{2\pi}(\SetR,\SetR)$ l'ensemble des fonctions continues $2\pi$ périodiques de $\SetR$ dans $\SetR$. Posons $$\langle f,g\rangle =\ds\frac{1}{2\pi}\:\int_0^{2\pi} \!\!\!f(t)g(t)dt$$

Montrer que $<,>$ est un pse sur $E$.
Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $c_n$ et $s_n$ les applications définies par $c_n(x)=\cos(nx)$ et $s_n(x)=\sin(nx)$. Montrer pour tout $n$ de $\SetN$ que la famille suivante est orthogonale : $$(c_0,c_1,...,c_n,s_0,s_1,...,s_n)$$
Expliquer pourquoi cette famille n'est pas libre. Quelle sous famille faut-il prendre pour qu'elle soit libre ?

Exercice.^¹⁶

Pour des polynômes $P$ et $Q$ à coefficients dans $\SetR$, on note : $$\left\langle P,Q\right\rangle \=\ds\int_{-1}^1 \frac{P(x)Q(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

Montrer que l'intégrale précédente converge pour tous polynômes $P$ et $Q$.
Montrer que $\left<,\right>$ est un pse sur $\SetR[X]$
Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $T_n$ le n\ieme polynôme de Tchebitchev, c'est-à-dire l'unique polynôme vérifiant $T_n(\cos(x))=\cos(nx)$ pour tout $x$ de $\SetR$. Montrer que la famille $(T_0,T_1,...,T_n)$ est une famille orthogonale de $\SetR[X]$.

II. Orthogonalité

II.4. Somme directe orthogonale.

Propriétés.^¹⁸

Soient $F$ et $G$ des sev de $E$, alors : $$F\perp G\:\:\Longrightarrow\:\: F\oplus G$$

Définition.

Lorsque deux sev $F$ et $G$ sont orthogonaux, on note $\ds F\mathop{\oplus}^\perp G$ pour penser que cela signifie $F\perp G$ mais aussi $F\oplus G$.

Méthode - Comment montrer que $\ds E=F\mathop{\oplus}^\perp G$ ?

On montre que $F\perp G$
Connait-on les dimensions de $E$, $F$ et $G$ ?
- Si oui, on vérifie que $dim(F\oplus G)=dim(E)$ et on conclut,
- Si non, on montre que $E=F+G$

Exercice - Sommes directes classiques.^¹⁹

Montrer que : $$\ds\mathcal{M}_{n}(\SetR)\=S_{n}(\SetR)\mathop{\oplus}^\perp A_{n}(\SetR)$$
Soit $a$ dans $\SetR^*_+$. Montrer que : $$ C^0([-a,a],\SetR)\=\mathcal{P}([-a;a],\SetR)\:\:\mathop{\oplus}^\perp\:\:\mathcal{I}([-a;a],\SetR)$$ avec $\:\mathcal{P}([-a;a],\SetR)\:$ et $\:\mathcal{I}([-a;a],\SetR)\:$ les $\SetR$-ev des fonctions continues paires et impaires de $[-a;a]$ dans $\SetR$.