Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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II. Orthogonalité

II.2. Familles orthogonales, familles orthonormales

Définition.

Soit $I=\SetN$ ou $I=\{1,...,n\}$ avec $n$ dans $\SetN^*$.

La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthogonale si et seulement si $x_i\perp x_j$ pour tous $i$ et $j$ différents dans $I$. On note $x_1\perp x_2\perp...$.
La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et si tous les vecteurs ont une norme de 1. En d'autres termes, pour tous $i$ et $j$ de $I$ : $$\langle x_i,x_j\rangle \=\delta_{ij}\=\left\{\begin{array} {ll}% 0&\hbox{si }i\neq j\\ 1&\hbox{si }i= j\\ \end{array} \right.$$

Propriétés.^¹³

Toute famille orthonormale est libre.
Toute famille orthogonale ne présentant pas le vecteur nul, est libre.

Exercice.^¹⁴

Montrer que la base canonique de $\SetR^n$ est une base orthonormée.
Montrer que la base des matrices élémentaires ${(E_{i,j})}_{ij}$ est une base orthonormée de $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$.

Exercice.^¹⁵

Notons $E=C_{2\pi}(\SetR,\SetR)$ l'ensemble des fonctions continues $2\pi$ périodiques de $\SetR$ dans $\SetR$. Posons $$\langle f,g\rangle =\ds\frac{1}{2\pi}\:\int_0^{2\pi} \!\!\!f(t)g(t)dt$$

Montrer que $<,>$ est un pse sur $E$.
Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $c_n$ et $s_n$ les applications définies par $c_n(x)=\cos(nx)$ et $s_n(x)=\sin(nx)$. Montrer pour tout $n$ de $\SetN$ que la famille suivante est orthogonale : $$(c_0,c_1,...,c_n,s_0,s_1,...,s_n)$$
Expliquer pourquoi cette famille n'est pas libre. Quelle sous famille faut-il prendre pour qu'elle soit libre ?

Exercice.^¹⁶

Pour des polynômes $P$ et $Q$ à coefficients dans $\SetR$, on note : $$\left\langle P,Q\right\rangle \=\ds\int_{-1}^1 \frac{P(x)Q(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

Montrer que l'intégrale précédente converge pour tous polynômes $P$ et $Q$.
Montrer que $\left<,\right>$ est un pse sur $\SetR[X]$
Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $T_n$ le n\ieme polynôme de Tchebitchev, c'est-à-dire l'unique polynôme vérifiant $T_n(\cos(x))=\cos(nx)$ pour tout $x$ de $\SetR$. Montrer que la famille $(T_0,T_1,...,T_n)$ est une famille orthogonale de $\SetR[X]$.

II. Orthogonalité

II.3. Le théorème de Pythagore

Théorème - Pythagore.^¹⁷

Soit $\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ un préhilbertien réel.

$\:\:x_1\perp x_2\:\:$ si et seulement si $\:\:\|x_1+x_2\|^2=\|x_1\|^2+\|x_2\|^2$.
Si $\:\:x_1\perp x_2\perp ...\perp x_n\:\:$ alors $\:\:\|x_1+x_2+...+x_n\|^2=\|x_1\|^2+\|x_2\|^2+...+\|x_n\|^2\:\:$.

Remarque.

La réciproque du point 2 est fausse pour $n\geq 3$. On peut le vérifier en prenant par exemple les vecteurs $(1,1)$, $(0,-1)$ et $(1,0)$.