$$
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\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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II. Orthogonalité
II.1. Définitions
Définitions.
Soit $(E,<,>)$ un préhilbertien. Soient $x$, $y$ dans $E$ et $A$, $B$ des sous ensembles de $E$.
- $x$ et $y$ sont othogonaux, on note $x\perp y$,
si et seulement si : $\langle x,y\rangle =0$
- $x$ et $A$ sont othogonaux, on note $x\perp A$ ou $A\perp x$,
si et seulement si : $\forall a\in A,\:\langle x,a\rangle =0$
- $A$ et $B$ sont othogonaux, on note $A\perp B$ si et seulement si :
$\forall\:a\in A,\:b\in B,\:\langle a,b\rangle =0$
- Soit $A$ une partie de $E$, on appelle orthogonale de A, on note
$A^\perp$, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les
vecteurs de $A$: $$A^\perp=\Big\{\Haut{0.42}\:x\in E\:\:/\:\:\forall a\in
A,\:\left\langle a,x\right\rangle =0\:\Big\}$$
Ainsi on a a l'équivalence : $x\in A^\perp\Longleftrightarrow x\perp A$.
Propriétes.12
Soit $A$ et $B$ des parties quelconques de $E$
- $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- $A\perp A^{\perp}$ et donc $A\subset {(A^\perp)}^\perp$.
- $A\subset B\Longrightarrow B^\perp\subset A^\perp$.
- $A^\perp=(Vect(A))^\perp$
- $\emptyset^\perp=\{0\}^\perp=E$, $E^\perp=\{0\}$
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II. Orthogonalité
II.2. Familles orthogonales, familles orthonormales
Définition.
Soit $I=\SetN$ ou $I=\{1,...,n\}$ avec $n$ dans $\SetN^*$.
- La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthogonale si et
seulement si $x_i\perp x_j$ pour tous $i$ et $j$ différents dans $I$. On note $x_1\perp x_2\perp...$.
- La famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthonormale si et
seulement si la famille est orthogonale et si
tous les vecteurs ont une norme de 1. En d'autres termes, pour tous $i$ et $j$ de $I$ :
$$\langle x_i,x_j\rangle \=\delta_{ij}\=\left\{\begin{array} {ll}%
0&\hbox{si }i\neq j\\
1&\hbox{si }i= j\\
\end{array}
\right.$$
Propriétés.13
- Toute famille orthonormale est libre.
- Toute famille orthogonale ne présentant pas le vecteur
nul, est libre.
Exercice.14
- Montrer que la base canonique de $\SetR^n$ est une base orthonormée.
- Montrer que la base des matrices élémentaires ${(E_{i,j})}_{ij}$ est une base orthonormée de $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$.
Exercice.15
Notons $E=C_{2\pi}(\SetR,\SetR)$ l'ensemble des fonctions continues
$2\pi$ périodiques de $\SetR$ dans $\SetR$. Posons
$$\langle f,g\rangle =\ds\frac{1}{2\pi}\:\int_0^{2\pi} \!\!\!f(t)g(t)dt$$
- Montrer que $<,>$ est un pse sur $E$.
- Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $c_n$ et $s_n$ les applications définies par $c_n(x)=\cos(nx)$ et $s_n(x)=\sin(nx)$.
Montrer pour tout $n$ de $\SetN$ que la famille suivante est orthogonale : $$(c_0,c_1,...,c_n,s_0,s_1,...,s_n)$$
- Expliquer pourquoi cette famille n'est pas libre. Quelle sous famille faut-il prendre pour qu'elle soit libre ?
Exercice.16
Pour des polynômes $P$ et $Q$ à coefficients dans $\SetR$, on note :
$$\left\langle P,Q\right\rangle \=\ds\int_{-1}^1 \frac{P(x)Q(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$
- Montrer que l'intégrale précédente converge pour tous polynômes $P$ et $Q$.
- Montrer que $\left<,\right>$ est un pse sur $\SetR[X]$
- Pour tout $n$ de $\SetN$, notons $T_n$ le n\ieme polynôme de Tchebitchev, c'est-à-dire l'unique polynôme vérifiant $T_n(\cos(x))=\cos(nx)$ pour tout $x$ de $\SetR$.
Montrer que la famille $(T_0,T_1,...,T_n)$ est une famille orthogonale de $\SetR[X]$.
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II. Orthogonalité
II.3. Le théorème de Pythagore
Théorème - Pythagore.17
Soit $\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ un préhilbertien réel.
- $\:\:x_1\perp x_2\:\:$ si et seulement si
$\:\:\|x_1+x_2\|^2=\|x_1\|^2+\|x_2\|^2$.
- Si $\:\:x_1\perp x_2\perp ...\perp x_n\:\:$ alors
$\:\:\|x_1+x_2+...+x_n\|^2=\|x_1\|^2+\|x_2\|^2+...+\|x_n\|^2\:\:$.
Remarque.
La réciproque du point 2 est fausse pour $n\geq 3$. On peut le vérifier en prenant par exemple les vecteurs $(1,1)$, $(0,-1)$ et $(1,0)$.
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II. Orthogonalité
II.4. Somme directe orthogonale.
Propriétés.18
Soient $F$ et $G$ des sev de $E$, alors :
$$F\perp G\:\:\Longrightarrow\:\: F\oplus G$$
Définition.
Lorsque deux sev $F$ et $G$ sont orthogonaux, on note $\ds F\mathop{\oplus}^\perp G$ pour penser que cela signifie $F\perp G$ mais aussi $F\oplus G$.
Méthode - Comment montrer que $\ds E=F\mathop{\oplus}^\perp G$ ?
- On montre que $F\perp G$
- Connait-on les dimensions de $E$, $F$ et $G$ ?
- Si oui, on vérifie que $dim(F\oplus G)=dim(E)$ et on conclut,
- Si non, on montre que $E=F+G$
Exercice - Sommes directes classiques.19
- Montrer que : $$\ds\mathcal{M}_{n}(\SetR)\=S_{n}(\SetR)\mathop{\oplus}^\perp A_{n}(\SetR)$$
- Soit $a$ dans $\SetR^*_+$. Montrer que : $$ C^0([-a,a],\SetR)\=\mathcal{P}([-a;a],\SetR)\:\:\mathop{\oplus}^\perp\:\:\mathcal{I}([-a;a],\SetR)$$ avec $\:\mathcal{P}([-a;a],\SetR)\:$ et $\:\mathcal{I}([-a;a],\SetR)\:$ les $\SetR$-ev des fonctions continues paires et impaires de $[-a;a]$ dans $\SetR$.
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II. Orthogonalité
II.5. Représentation des formes linéaires à l'aide du produit scalaire.
Théorème de représentation de Reisz.20
Soit $E$ un eve $($donc de DF$)$. Pour toute FL $\phi$ sur $E$, il existe $a$ dans $E$ tel que : $$\forall x\in E,\:\:\phi(x)\=\left\langle a,x\right\rangle $$
Ainsi les FL sont exactement les applications $x\mapsto\left\langle a,x\right\rangle $ pour $a$ dans $E$.
Conséquences.21
Soit $E$ un eve.
- Pour tout hyperplan $H$ de $E$, il existe $a$ dans $E$ tel que :
$$x\in H\:\:\Longleftrightarrow\:\: \langle x,a\rangle =0$$
Le vecteur $a$ est un vecteur normal de $H$.
- Dans une BON, l'équation d'un hyperplan est de la forme :
$$a_1x_1\:+\:...\:+\:a_nx_n=0$$
avec $(a_1,...,a_n)$ un vecteur normal non nul de $H$.
Exemple.
Les formes linéaires sur $\mathcal{M}_{pq}(\SetR)$ sont
exactement les $M\mapsto Tr(AM)$ avec $A\in M_{qp}(\SetR)$.
Méthode.22
Techniques pour obtenir une équation ou un vecteur normal d'un hyperplan en dimension finie.
- $H$ est un hyperplan, c'est donc le noyau d'une forme
linéaire $l$.
- D'après Reisz, cette forme linéaire peut s'écrire sous la
forme $\langle a,.\rangle $.
- Le vecteur $a$ est un vecteur normal à $H$, car $\forall
y\in H$, $y\in Ker(l)$ et donc $\langle a,y\rangle =0$.
Exercice.23
Montrer que : $$H=\left\{M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\SetK)\:/\:\sum_{1\leq i,j\leq
n}a_{ij}=0\right\}$$
est un hyperplan. Déterminer un vecteur normal.
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