$$
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\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
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\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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I. Produit scalaire
I.1. Espace préhilbertien-réel
Définition.
-
On appelle produit scalaire euclidien sur un espace
$\SetR$-espace vectoriel, toute application $\phi$ de $E\times
E$ dans $\SetR$ vérifiant:
- $\phi$ est bilinéaire.
- $\phi$ est symétrique : $\forall x,y\in E,\:\phi(x,y)=\phi(y,x)$.
- $\phi$ est positive : $\forall x\in E,\:\phi(x,x)\geq 0$.
- $\phi$ est définie positive : $\forall x\in E,\:\phi(x,x)= 0\Longrightarrow x=0$.
- On appelle espace préhilbertien réel, tout couple
$\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ où $E$ est un $\SetR$-espace vectoriel et $\langle\:,\:\rangle$ un pse sur $E$
- On appelle espace vectoriel euclidien (eve), un espace
préhilbertien réel de dimension finie.
Remarques.
- $\phi$ positive ne signifie pas $\forall x,y\in E,\:\phi(x,y)\geq 0$.
- Un semi-produit scalaire est un produit scalaire à qui il manque le caractère définie. C'est donc uniquement une forme bilinéaire symétrique positive.
- On note souvent les pse : $\langle x,y\rangle$, $(x/y)$ ou $x.y$.
- Un produit scalaire est bilinéaire, mais pas linéaire puisque pour tout $\lambda$ de $\SetR$ et $x$, $y$ dans $E$ : $$\phi(\lambda.(x,y))\=\langle\lambda.x,\lambda.y\rangle\=\lambda^2.\langle x,y\rangle$$
- Le pse se comporte comme un produit, il faut donc savoir développer une
somme. Par exemple : $$\langle a+b\:,\:c+d\rangle \=\langle a\:,\:c\rangle +\langle a\:,\:d\rangle +\langle b\:,\:c\rangle +\langle b\:,\:d\rangle $$
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I. Produit scalaire
I.2. Exemples de références
Exemple.1
$\SetR^n$ muni du pse :
$$\langle x,y\rangle \=x_1.y_1\:+\:...\:\:+x_n.y_n$$ avec $x=(x_1,...,x_n)$ et
$x=(y_1,...,y_n)$, est un eve.
Si on assimile les éléments de $\SetR^n$ aux matrices colonnes à $n$ lignes, le produit scalaire peut s'écrire :
$$\forall X,Y\in\SetR^n=\mathcal{M}_{n1}(\SetR),\:\:\:\:\langle X,Y\rangle\=X^TY$$
Exemple.2
$M_{pq}(\SetR)$ muni du pse :$$\langle A,B\rangle \=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qa_{ij}b_{ij}\=tr\left(A^TB\right)$$
est un eve.
Exemple.3
$\mathcal{C}([a,b],\SetR)$ muni du pse : $$ \langle f,g\rangle \=\int_a^bf(x)g(x)dx$$
est un préhilbertien réel.
Exemple.4
$\SetR|X]$ muni d'un pse du type : $$ \langle P,Q\rangle \=\int_a^bP(x)Q(x)dx$$ avec $a$ et $b$ dans $\SetR$ tels que $a < b$, est un préhilbertien réel.
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I. Produit scalaire
I.3. L'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème.5
Soit $\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ un espace préhilbertien réel, alors pour tous $x$ et $y$ dans $E$ :
- $\ds\left|\left\langle x,y\right\rangle\right|\:\leq\: \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle} \sqrt{\left\langle y,y\right\rangle}$,
- Il y a égalité ssi $x$ et $y$ sont liés.
Remarques.
- L'inégalité de CS, sans le cas d'égalité, reste valable si
$\langle ,\rangle $ est seulement un semi-produit scalaire.
- Par contre, le cas d'égalité nécessite le caractère défini.
Exemples.
Voici la traduction du théorème de Cauchy-Schwarz dans les préhilbertiens réels classiques :
$$\begin{array} {cll}%
1 & \hbox{Dans } \SetR^n, & \ds\left|\sum_{i=1}^n x_i.y_i\right|\:\leq\: \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\\
\Haut{0.8}2 & \hbox{Dans } M_n(\SetR), & \ds \left|tr\left(A^TB\right)\right|\:\leq\:\sqrt{tr\left(A^TA\right)}\sqrt{tr\left(B^TB\right)}\\
\Haut{1.2}3 & \hbox{Dans } \mathcal{C}([a,b],\SetR), &\ds \left|\int_a^bf(x)g(x)dx\right|\:\leq\:\sqrt{\int_a^bf^2(x)dx}\sqrt{\int_a^bg^2(x)dx}\\
\end{array}%
$$
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I. Produit scalaire
I.4. Norme euclidienne
Définition.
Une norme sur un $\SetR$-ev est une application $N$ de $E$ dans $\SetR^+$ vérifiant pour tous $x$ et $y$ de $E$, et tout $\lambda$ de $\SetR$ :
- $N(x)=0\:\Longleftrightarrow\:x=0$,
- $N(\lambda.x)\=|\lambda|.N(x)$,
- $N(x+y)\:\leq\:N(x)+N(y)\hskip1cm($Inégalité triangulaire$)$.
Théorème - Définition.6
Soit $\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ est un préhilbertien réel.
-
On peut associer à ce
produit scalaire une norme $\|\:\|$ par :
$$\forall x\in E,\:\:\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle }$$
C'est la norme euclidienne.
-
De plus on contrôle le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire:
$$\forall x,y\in E,\:\:\:\:\:\|x+y\|= \|x\|+\|y\|
\hskip0.3cm\Longleftrightarrow\hskip0.3cm\exists\lambda \in\SetR^+,\:y=\lambda x \:\hbox{ ou }\:x=\lambda y$$
Remarques.
-
Avec les notations de la norme euclidienne, l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient: $$\forall x,y\in E,\:\:\:\:\big|\langle x,y\rangle \big|\:\leq\: \|x\|.\|y\|$$
-
Il existe des normes non euclidiennes, c'est-à-dire des normes qui ne proviennent pas d'un produit scalaire. Il y a un exemple après l'inégalité du parallélogramme.
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I. Produit scalaire
I.5. Distance euclidienne
Définition.
Une distance sur un ensemble $E$ est une application $d$ de $E^2$ dans $\SetR^+$ vérifiant pour tous $x$, $y$ et $z$ de $E$ :
- $d(x,x)=0\:\Longleftrightarrow\:x=0$,
- $d(x,y)\=d(y,x)$,
- $d(x,z)\:\leq\:d(x,z)+d(z,y)\hskip1cm($Inégalité triangulaire$)$.
Théorème - Définition.7
Soient $\left(E,\langle\:,\:\rangle\right)$ est un préhilbertien réel et $\|.\!.\!.\|$ sa norme euclidienne alors l'application $d$ définie par :
$$\forall x,y\in E,\:\:d(x,y)\=\|x-y\|$$
est une distance. C'est la distance euclidienne.
Remarque.
Il existe des distances non euclidiennes, même des distances qui ne proviennent d'aucune norme. Par exemple sur $\SetR$, l'application $d$ définie par : $$\forall x,y\in\SetR,\:d(x,y)\=\arctan(|x-y|)$$
est une distance qui ne provient d'aucune norme.
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I. Produit scalaire
I.6. Identités de polarisation
Propriétés.8
Il existe certaines relations entre le produit scalaire et la norme
euclidienne. Pour tous $x$ et $y$ de $E$, on a :
$$\begin{array}{llll}
1&\|x+y\|^2&\=~& \|y\|^2+\|x\|^2+2\langle x,y\rangle\\[0.25cm]
2&\langle x,y\rangle &\=&\ds\frac{1}{2}\ds\left(\|x+y\|^2-\|y\|^2-\|x\|^2\right)\\[0.15cm]
3&\langle x,y\rangle &\=&\ds\frac{1}{4}\ds\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)\\
\end{array}$$
Intérêt.
Les identités 2 et 3 permettent, à partir de la norme euclidienne de retrouver le
produit scalaire.
Exercice.9
- Montrer que la valeur absolue sur $\SetR$ est une norme euclidienne. Déterminer le produit scalaire associé.
- Montrer que le module sur le $\SetR$-ev $\SetC$ est une norme euclidienne. Déterminer le produit scalaire associé.
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I. Produit scalaire
I.7. Identité du parallélogramme.
Théorème.10
Si $\|\:\:\|$ est une norme euclidienne alors :
$$\forall x,y\in E,\:\:\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\=2\|x\|^2+2\|y\|^2$$
Remarque.
On utilise souvent la contraposée de l'inégalité du parallélogramme pour montrer qu'une norme n'est pas euclidienne. Un exemple dans l'exercice suivant.
Exercice.11
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Notons pour tout $x=(x_1,...,x_n)$ de $\SetR^n$ et tout $p$ de $[1;+\infty[$. :
$$\|x\|_p\:\=\:\sqrt[p]{|x_1|^p+... |x_n|^p}\hskip2cm
\|x\|_\infty\:\=\:\mathop{\text{Max}}_{i\in[\hskip-0.03cm[1,n]\hskip-0.03cm]}{|x_i|}$$
On admet que ce sont des normes.
- Montrer que pour tout $x$ de $\SetR^n$, on a :
$$\limite{p}{+\infty}\|x\|_p\:\=\:\|x\|_\infty$$
- Montrer que la norme $\|\:\:\|_p$ avec $p$ dans $[1;+\infty]$ est euclidienne si et seulement si $p=2$.
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