$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
|
| sous-section | |
|
|
|
| Ici sera la liste des chapitres !!! |
|
IV. Études de séries, applications.
IV.1. Résumé des théorèmes.
Résumé.
Après avoir vérifié que la série n'est pas grossièrement divergente, voilà les principaux théorèmes permettant de conclure à la convergence ou la non convergence d'une série :
$$
\renewcommand\arraystretch{3}
\begin{array} {|c|c|c|}
\hline
~\hskip1cm\text{Séries de référence}\hskip1cm~&
~\hskip2cm \text{STP}\hskip2cm~&
~\hskip2cm \text{STQ}\hskip2cm~\\
\hline
\hline
\text{1. Séries de Riemann}&
\text{1. Th. de comparaison}&
\text{1. Conv. absolue}\\
\hline
\text{2. Séries géométriques}&
\text{2. Comparaison série-intégrale}&
\text{2. Th des séries alternées}\\
\hline
\text{3. Séries exponentielles}&
&
\text{3. Règle du $n^\alpha$}\\
\hline
\end{array}
$$
|
IV. Études de séries, applications.
IV.2. La somme d'une série : somme télescopique et série géométrique.
Méthode.
Lorsqu'on demande la somme d'une série, il existe 2 méthodes principales :
- La somme télescopique.
- La série géométrique.
Voici quelques exemples classiques :
Exercice.20
Étudier la nature des séries suivantes. Dans le cas où la série est convergente, déterminer sa limite :
$$\begin{array} {lll}%
1)\hskip0.5cm\ds\sum x^n\cos(n\theta)\hskip2.1cm~&
2)\hskip0.5cm\ds\sum \frac{1}{k^2-1}\hskip2.1cm~\\
\Haut{0.8}3)\hskip0.5cm\ds\sum \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\hskip2.1cm~&
4)\hskip0.5cm\ds\sum \ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\hskip2.1cm~\\
\end{array}$$
Exercice.21
Soient $p$ dans $\SetN^*$ et : $$u_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+p)}$$
- Montrer que $\sum u_n$ est convergente.
- Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $n$ de $\SetN$ :
$$u_n\=\frac{\alpha}{n(n+1)(n+2)...(n+p-1)}+\frac{\beta}{(n+1)(n+2)...(n+p)}$$
- En déduire la somme $\ds\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$
|
IV. Études de séries, applications.
IV.3. Formule de Stirling
Formule de Stirling.22
$$n!\:\:\sim\:\:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
Exercice.23
Pour tout $n$ de $\SetN^*$, on note :
$$S_n\=\sum_{k=1}^n(-1)^k\ln\left(\textstyle 1+\frac{1}{k}\right)$$
- Montrer que $(S_n)$ est convergente, puis que pour tout $n$ de $\SetN^*$ :
$$S_{2n}\:\=\:\ln\left(\frac{{(2n+1)(2n)!}^2}{2^{4n}{n!}^4}\right)$$
- En déduire que $(S_n)$ converge vers $\ln\left(\frac{2}{\pi}\right)$.
|
IV. Études de séries, applications.
IV.4. Quand on passe par une série pour connaitre la limite d'une suite.
Remarque - très très utile.
Soit $(a_n)$ une suite de $\SetK$. Alors, par télescopage, on a :
$$(a_n)\hbox{ converge }\:\:\:\:\Longleftrightarrow \:\:\:\:\:\sum (a_{n+1}-a_n)\hbox{ converge}$$
Ainsi parfois pour montrer qu'une suite converge $(a_n)$ converge, on montre que la série $\sum (a_{n+1}-a_n)$ converge.
Exercice - la constante d'Euler.24
Notons $u_n=ln(n)-H_n$ avec $\ds H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$.
- Montrer que $u_{n+1}-u_n\sim\frac{1}{2n^2}$
- En déduire que $(u_n)$ est convergente. Cette limite $\gamma$ est appelée la constante d'Euler $(\gamma\simeq 0.57)$.
Exercice - preuve de la formule de Stirling.25
On rappelle quelques informations sur l'intégrale de Wallis :
$$I_{2n}\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)dx\=\frac{\pi}{2}.\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\:\:\sim\:\:\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$$
De plus, posons :
$$u_n=\ln\left(\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{n}}\right)\hskip1.5cm\hbox{ et }\hskip1.5cm v_n=u_n-u_{n+1}$$
- Montrer que $\ds v_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1$
- En déduire que $\ds v_n\mathop{\sim}_{\scriptsize+\infty}\frac{1}{12 n^2}$.
- Montrer que $(u_n)$ est convergente.
- Posons pour tout $n$ de $\SetN$, $w_n=e^{u_n}$. Montrer que $$\frac{\sqrt{2}w_{2n}}{w_n^2}\=\sqrt{n}\frac{2}{\pi}I_{2n}$$
- En déduire la formule de Stirling : $$n!\:\:\mathop{\sim}_{\scriptsize+\infty}\:\:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
|
IV. Études de séries, applications.
IV.5. Produit de Cauchy.
Remarques.
Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ est la série $\sum c_n$ avec :
$$c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$$
Remarques.
- Le produit de Cauchy est le prolongement du produit sur les polynômes.
- Si la convergence n'est pas absolue, on peut avoir $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergentes et le produit divergent. Par un exemple, voir l'exercice 2
Exercice 1.26
Montrer que le produit de deux séries exponentielles $\sum \frac{a^n}{n!}$ et $\sum \frac{b^n}{n!}$ est la série exponentielle $\sum \frac{(a+b)^n}{n!}$.
Théorème.27
Le produit de Cauchy de 2 séries AC est AC. De plus, dans ce cas, la limite du produit de Cauchy est le produit des limites cad avec les notations de la définition :
$$\sum_{n=0}^{+\infty}c_n\:\=\:\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\:\:\times\:\:\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$$
Exercice 2.28
Considérons la série $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
- Montrer que la série converge.
- Montrer que pour tout $k$ dans $\{1,...,n\}$, on a : $\:\:\ds\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{n-k}}\geq \frac{1}{n}$
- En déduire que le produit de Cauchy de la série avec elle-même est divergent.
|
