Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

$$ \newcommand{\SetN}{\mathbb{N}} \newcommand{\SetR}{\mathbb{R}} \newcommand{\SetC}{\mathbb{C}} \newcommand{\SetK}{\mathbb{K}} \newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\SetU}{\mathbb{U}} \newcommand\ds[0]{\displaystyle} \newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}} \newcommand{\=}{\:=\:} \newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}} \newcommand\tr[0]{\:^t\!} \newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:} \newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}} \newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}} \newcommand\Haut[1]{} \newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:} \newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:} \newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:} \newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:} \newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:} \newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}} \newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}} \newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}} \newcommand\fonction[5]{ \begin{array}{cccc} #1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\ & #4 & \mapsto & \ds #5 \ \end{array}} $$

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

I. Notion de séries et séries de références.
1. Définition.
2. Dérivation discrète $($HP$)$.
3. Divergence grossière.
4. Opérations sur les séries.
5. Reste d'une série convergente.
6. Séries de références.

II. Séries à termes positifs.
1. Intérêt.
2. Théorème de comparaison.
3. Conséquences sur les suites équivalentes.
4. Comparaison série-intégrales.

III. Séries à termes quelconques.
1. Convergence absolue.
2. Séries alternées.
3. Règle de D'Alembert.
4. Règle du $n^\alpha$.
5. Une technique classique : l'éclatement.

IV. Études de séries, applications.
1. Résumé des théorèmes.
2. La somme d'une série : somme télescopique et série géométrique.
3. Formule de Stirling
4. Quand on passe par une série pour connaitre la limite d'une suite.
5. Produit de Cauchy.

Ici sera la liste des chapitres !!!

IV. Études de séries, applications.

IV.1. Résumé des théorèmes.

Résumé.

Après avoir vérifié que la série n'est pas grossièrement divergente, voilà les principaux théorèmes permettant de conclure à la convergence ou la non convergence d'une série : $$ \renewcommand\arraystretch{3} \begin{array} {|c|c|c|} \hline ~\hskip1cm\text{Séries de référence}\hskip1cm~& ~\hskip2cm \text{STP}\hskip2cm~& ~\hskip2cm \text{STQ}\hskip2cm~\\ \hline \hline \text{1. Séries de Riemann}& \text{1. Th. de comparaison}& \text{1. Conv. absolue}\\ \hline \text{2. Séries géométriques}& \text{2. Comparaison série-intégrale}& \text{2. Th des séries alternées}\\ \hline \text{3. Séries exponentielles}& & \text{3. Règle du $n^\alpha$}\\ \hline \end{array} $$

IV. Études de séries, applications.

IV.2. La somme d'une série : somme télescopique et série géométrique.

Méthode.

Lorsqu'on demande la somme d'une série, il existe 2 méthodes principales :

La somme télescopique.
La série géométrique.

Voici quelques exemples classiques :

Exercice.^²⁰

Étudier la nature des séries suivantes. Dans le cas où la série est convergente, déterminer sa limite : $$\begin{array} {lll}% 1)\hskip0.5cm\ds\sum x^n\cos(n\theta)\hskip2.1cm~& 2)\hskip0.5cm\ds\sum \frac{1}{k^2-1}\hskip2.1cm~\\ \Haut{0.8}3)\hskip0.5cm\ds\sum \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\hskip2.1cm~& 4)\hskip0.5cm\ds\sum \ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\hskip2.1cm~\\ \end{array}$$

Exercice.^²¹

Soient $p$ dans $\SetN^*$ et : $$u_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+p)}$$

Montrer que $\sum u_n$ est convergente.
Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $n$ de $\SetN$ : $$u_n\=\frac{\alpha}{n(n+1)(n+2)...(n+p-1)}+\frac{\beta}{(n+1)(n+2)...(n+p)}$$
En déduire la somme $\ds\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$

IV. Études de séries, applications.

IV.3. Formule de Stirling

Formule de Stirling.^²²

$$n!\:\:\sim\:\:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Exercice.^²³

Pour tout $n$ de $\SetN^*$, on note : $$S_n\=\sum_{k=1}^n(-1)^k\ln\left(\textstyle 1+\frac{1}{k}\right)$$

Montrer que $(S_n)$ est convergente, puis que pour tout $n$ de $\SetN^*$ : $$S_{2n}\:\=\:\ln\left(\frac{{(2n+1)(2n)!}^2}{2^{4n}{n!}^4}\right)$$
En déduire que $(S_n)$ converge vers $\ln\left(\frac{2}{\pi}\right)$.

IV. Études de séries, applications.

IV.4. Quand on passe par une série pour connaitre la limite d'une suite.

Remarque - très très utile.

Soit $(a_n)$ une suite de $\SetK$. Alors, par télescopage, on a : $$(a_n)\hbox{ converge }\:\:\:\:\Longleftrightarrow \:\:\:\:\:\sum (a_{n+1}-a_n)\hbox{ converge}$$ Ainsi parfois pour montrer qu'une suite converge $(a_n)$ converge, on montre que la série $\sum (a_{n+1}-a_n)$ converge.

Exercice - la constante d'Euler.^²⁴

Notons $u_n=ln(n)-H_n$ avec $\ds H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$.

Montrer que $u_{n+1}-u_n\sim\frac{1}{2n^2}$
En déduire que $(u_n)$ est convergente. Cette limite $\gamma$ est appelée la constante d'Euler $(\gamma\simeq 0.57)$.

Exercice - preuve de la formule de Stirling.^²⁵

On rappelle quelques informations sur l'intégrale de Wallis : $$I_{2n}\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)dx\=\frac{\pi}{2}.\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\:\:\sim\:\:\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$$ De plus, posons : $$u_n=\ln\left(\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{n}}\right)\hskip1.5cm\hbox{ et }\hskip1.5cm v_n=u_n-u_{n+1}$$

Montrer que $\ds v_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1$
En déduire que $\ds v_n\mathop{\sim}_{\scriptsize+\infty}\frac{1}{12 n^2}$.
Montrer que $(u_n)$ est convergente.
Posons pour tout $n$ de $\SetN$, $w_n=e^{u_n}$. Montrer que $$\frac{\sqrt{2}w_{2n}}{w_n^2}\=\sqrt{n}\frac{2}{\pi}I_{2n}$$
En déduire la formule de Stirling : $$n!\:\:\mathop{\sim}_{\scriptsize+\infty}\:\:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

IV. Études de séries, applications.

IV.5. Produit de Cauchy.

Remarques.

Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ est la série $\sum c_n$ avec : $$c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$$

Remarques.

Le produit de Cauchy est le prolongement du produit sur les polynômes.
Si la convergence n'est pas absolue, on peut avoir $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergentes et le produit divergent. Par un exemple, voir l'exercice 2

Exercice 1.^²⁶

Montrer que le produit de deux séries exponentielles $\sum \frac{a^n}{n!}$ et $\sum \frac{b^n}{n!}$ est la série exponentielle $\sum \frac{(a+b)^n}{n!}$.

Théorème.^²⁷

Le produit de Cauchy de 2 séries AC est AC. De plus, dans ce cas, la limite du produit de Cauchy est le produit des limites cad avec les notations de la définition : $$\sum_{n=0}^{+\infty}c_n\:\=\:\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\:\:\times\:\:\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$$

Exercice 2.^²⁸

Considérons la série $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

Montrer que la série converge.
Montrer que pour tout $k$ dans $\{1,...,n\}$, on a : $\:\:\ds\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{n-k}}\geq \frac{1}{n}$
En déduire que le produit de Cauchy de la série avec elle-même est divergent.