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Cours Séries numériques. |
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| Liste chapitres | Plan du chapitre |
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III. Séries à termes quelconques. III.1. Convergence absolue.
Définition.
Soit $(a_n)$ une suite de $\SetK$. La série $\sum a_n$ est absolument convergente (AC) si et seulement si la série à termes positifs $\sum|a_n|$ est convergente.
Théorème.13
Toute série AC est convergente.
Définition.
Une série qui converge, mais qui ne converge pas absolument, est appelée une série semi-convergente.
Exemple.
La série $\ds\sum \frac{(-1)^{^{E\!n\!t(\sqrt{n})}}}{n^2}$ est convergente, car :
$$\sum \left|\frac{(-1)^{^{E\!n\!t(\sqrt{n})}}}{n^2}\right|\:\=\:\sum\frac{1}{n^2}$$
est covergente.
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III. Séries à termes quelconques. III.2. Séries alternées.
Définition.
Une série alternée est une série de la forme $\:\:\ds\sum (-1)^na_n\:\:$ ou $\:\:\ds\sum (-1)^{n+1}a_n\:\:$ avec $(a_n)$ une suite de $\SetR$ décroissante et tendant vers 0.
Théorème.14
Exemple.
Les séries suivantes sont alternées et donc convergentes : $\:\:\ds\sum\frac{(-1)^n}{\ln(n)}\:\:$ et $\:\:\ds\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\:\:$.
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III. Séries à termes quelconques. III.3. Règle de D'Alembert.
Théorème.15
Soit $\sum a_n$ une série avec $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\tendvers{n}{+\infty}l\in\bar{\SetR^+}$.
Exercice.16
Déterminer la nature de $\:\:\ds\sum\frac{n!}{n^n}\:\:$ et $\:\:\ds\sum\frac{n}{2^n}$.
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III. Séries à termes quelconques. III.4. Règle du $n^\alpha$.
Théorème.17
Soit $\sum a_n$ une STQ. S'il existe $\alpha>1$ tel que $\:\:n^\alpha |a_n|\tendvers{n}{+\infty}0\:\:$ alors $\sum a_n$ est absolument convergente.
Remarque.
Comme pour les intégrales, ce théorème n'est pas au programme. Il faut donc le redémontrer systématiquement :
$$n^\alpha |a_n|\tendvers{n}{+\infty}0\:\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:\:|a_n|=o\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$$
Ainsi, d'après le théorème de comparaison et comme $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ est convergente, on a $\sum |a_n|$ convergente.
Exercice.18
Déterminer la nature de $\:\:\ds\sum \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^2}\right)$
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III. Séries à termes quelconques. III.5. Une technique classique : l'éclatement.
Méthode.
Pour déterminer la convergence d'une série, une technique consiste classique consiste à casser le terme général en morceaux de la forme $\frac{1}{n^\alpha}$ et d'étudier la convergence des morceaux. Cet éclatement se fait en général à l'aide des DL.
Exercice.19
Montrer que la série
$\:\:\ds\sum\frac{(-1)^n}{(-1)^n+\sqrt{n}}\:\:$ est divergente. | |||||||||
