$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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II. Séries à termes positifs.
II.1. Intérêt.
Définition.
Une série $\sum a_n$ est à termes positifs (STP) si et seulement si tous les $a_n$ sont dans $\SetR^+$. Si ce n'est pas le cas, on dira que la série est à termes quelconques (STQ).
Remarque.
L'intérêt principal des STP réside dans :
$$\sum a_n\:\:\: \text{STP}\:\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\:\sum a_n\:\:\: \text{croissante}$$
Ainsi en utilisant le théorème des limites monotones, on obtient :
- Les STP majorées sont convergentes.
- les STP non majorées tendent vers $+\infty$.
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II. Séries à termes positifs.
II.2. Théorème de comparaison.
Théorème de comparaison.6
Soit $\sum a_n$ et $\sum b_n$ des séries à termes positifs vérifiant l'une des quatre propriétés suivantes APCR :
$$a_n\leq b_n\hskip0.95cm\text{ou}\hskip0.95cm a_n=o(b_n)\hskip0.95cm\text{ou}\hskip0.95cm a_n=O(b_n)\hskip0.95cm\text{ou}\hskip0.95cm a_n\sim b_n$$
Alors :
- Si $\sum b_n$ convergente alors $\sum a_n$ convergente.
- Si $\sum a_n$ divergente alors $\sum b_n$ divergente.
Remarque.
Bien sûr, comme pour les intégrales, aucun résultat si $\sum a_n$ convergente ou si $\sum b_n$ divergente.
Exercice.7
Déterminer la nature de $\:\:\ds\sum \frac{ln(n)}{n}\:\:$ et $\:\:\ds\sum \frac{\sin^2(n)}{n^2}\:\:$.
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II. Séries à termes positifs.
II.3. Conséquences sur les suites équivalentes.
Conséquences.8
Soient $\sum a_n$ et $\sum b_n$ des STP.
$$a_n\sim b_n\hskip0.6cm\Longrightarrow\hskip0.6cm\sum a_n\:\hbox{ et }\sum b_n\:\hbox{ sont de même nature}$$
Exercice.9
Déterminer la nature de $\:\:\ds\sum \sin\left(\frac{1}{n}\right)\:\:$.
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II. Séries à termes positifs.
II.4. Comparaison série-intégrales.
Théorème.10
Soit $f$ une application continue par morceaux sur $[n_0;+\infty[$ et décroissante, on a alors :
$$\left(\sum_{k=n_0}^nf(k)\right)_{^{n\in\SetN}}\hskip0.7cm\hbox{ et }\hskip0.7cm\int_{n_0}^{+\infty}f$$
sont de même nature.
Remarque.
Le résultat en lui même est intéressant mais l'inégalité contenue dans la preuve $($qu'il faut savoir retrouver !$)$ est parfois plus utile :
$$-f(n_0)\:+\:\sum_{k=n_0}^nf(k)\:\:\:\:\leq\:\:\:\:\int_{n_0}^nf\:\:\:\:\leq\:\:\:\:-f(n)\:+\:\sum_{k=n_0}^nf(k)$$
Exercice.11
- Montrer que : $\:\:\ds\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\:\:\:\mathop{\sim}_{+\infty}\:\:\:\ln(n)$
- Soit $\alpha$ dans $]0;1[$, montrer que : $\:\ds\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^\alpha}\:\:\:\mathop{\sim}_{+\infty}\:\:\:\frac{1}{(1-\alpha)n^{\alpha-1}}$
- Soit $\alpha$ dans $]1;+\infty[$, montrer que : $\:\ds\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^\alpha}\:\:\:\mathop{\sim}_{+\infty}\:\:\:\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$
Exercice.12
Montrer que la série $\ds\sum_{k\geq 2}\frac{1}{k\ln(k)}$ est divergente, puis déterminer un équivalent de la somme partielle en $+\infty$.
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