Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

$$ \newcommand{\SetN}{\mathbb{N}} \newcommand{\SetR}{\mathbb{R}} \newcommand{\SetC}{\mathbb{C}} \newcommand{\SetK}{\mathbb{K}} \newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\SetU}{\mathbb{U}} \newcommand\ds[0]{\displaystyle} \newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}} \newcommand{\=}{\:=\:} \newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}} \newcommand\tr[0]{\:^t\!} \newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:} \newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}} \newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}} \newcommand\Haut[1]{} \newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:} \newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:} \newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:} \newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:} \newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:} \newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}} \newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}} \newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}} \newcommand\fonction[5]{ \begin{array}{cccc} #1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\ & #4 & \mapsto & \ds #5 \ \end{array}} $$

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

I. Notion de séries et séries de références.
1. Définition.
2. Dérivation discrète $($HP$)$.
3. Divergence grossière.
4. Opérations sur les séries.
5. Reste d'une série convergente.
6. Séries de références.

II. Séries à termes positifs.
1. Intérêt.
2. Théorème de comparaison.
3. Conséquences sur les suites équivalentes.
4. Comparaison série-intégrales.

III. Séries à termes quelconques.
1. Convergence absolue.
2. Séries alternées.
3. Règle de D'Alembert.
4. Règle du $n^\alpha$.
5. Une technique classique : l'éclatement.

IV. Études de séries, applications.
1. Résumé des théorèmes.
2. La somme d'une série : somme télescopique et série géométrique.
3. Formule de Stirling
4. Quand on passe par une série pour connaitre la limite d'une suite.
5. Produit de Cauchy.

Ici sera la liste des chapitres !!!

I. Notion de séries et séries de références.

I.1. Définition.

Définitions.

Soit $(a_n)$ une suite de $\SetK$.

La série de terme général $(a_n)$ est la suite $(S_n)$ définie par : $$\forall n\in\SetN,\:S_n=\sum_{k=0}^na_k$$On dit également que $(S_n)$ est la suite des sommes partielles de $(a_n)$.
Quelques façons de désigner la série : $$\left(\sum_{k=0}^na_k\right)_{^{\!\!n\in\SetN}}\hskip0.2cm\hbox{ ou }\hskip0.7cm\left(\sum_{k=0}^na_k\right)\hskip0.7cm\hbox{ ou }\hskip0.7cm\ds\sum a_k\hskip0.7cm\hbox{ ou }\hskip0.7cm\ds\sum_{n\geq 0} a_k$$
Si la série converge, on note $\ds\sum_{k=0}^{+\infty}a_k$ sa limite.

Remarques.

Attention $\ds\sum_{k=0}^na_k$ désigne le n$^\text{ième}$ terme de la série et pas la série elle même.
Pour tout $p$ de $\SetN$, les séries $\ds\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ et $\ds\left(\sum_{k=p}^na_k\right)$ sont de même nature cad les 2 sont convergentes ou les 2 sont divergentes. Elles se notent toutes les deux : $\sum a_k$. Si on cherche la limite, il faut alors préciser la première valeur de $k$. Sans autre précision, le premier terme est la première valeur qui a un sens.

I. Notion de séries et séries de références.

I.2. Dérivation discrète $($HP$)$.

Définition.

L'application $\Delta$ de $\mathcal{F}(\SetN,\SetK)$ dans $\mathcal{F}(\SetN,\SetK)$ définie par : $$\Delta(u)_n\=\left\{\begin{array} {cl}% u_{n}-u_{n-1}&\hbox{ si $n\neq 0$}\\ u_0& \hbox{ sinon} \end{array}% \right.$$ est appelée dérivée discrète.

Remarques.

$\Delta$ est une application linéaire.
$\Delta\left(\sum a_n\right)=(a_n)$. Ainsi $\sum a_n$ est en quelque sorte une primitive discrète de la suite $(a_n)$.

Analogie.

$$\begin{array} {|c|c|}% \hline &\\ \hskip 1cm \hbox{Continue}\hskip 1cm~&\hskip 1.1cm\hbox{Discret}\hskip 1.1cm~\\ &\\ \hline \hline &\\ f&(u_n)\\ \Haut{0.6}f'&\Delta(u)\\ \Haut{0.6}f(x)&\ds u_n\\ \Haut{0.6}\ds\int_a^x f&\sum u_n\\ &\\\hline \end{array}% $$

I. Notion de séries et séries de références.

I.3. Divergence grossière.

Propriétés.^¹

Si la série $\sum a_n$ est convergente alors $a_n\tendvers{n}{+\infty}0$. Attention pas de réciproque !
Par contraposée, on a donc que si $(u_n)$ ne tend pas vers 0 alors la série est divergente.

Exemple.

$\ds\sum\cos\hbox{$\left(\frac{1}{n}\right)$}$ est divergente.

I. Notion de séries et séries de références.

I.4. Opérations sur les séries.

Propriétés.^²

La somme de séries convergentes est convergente.
La somme d'une série convergente et d'une série divergente est divergente.
La multiplication d'une série convergente par un scalaire est une série convergente.
La multiplication d'une série divergente par un scalaire non nul est une série divergente.

Remarques.

Aucune information sur la somme de 2 séries divergentes !
Quand on écrit : $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+b_n\=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$$ Il faut vérifier que $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont convergentes.
En pratique pour déterminer la nature d'une série, on peut casser la série et étudier la convergence des morceaux. Si au plus un des morceaux est divergent, on peut conclure. Voir l'éclatement plus loin.

I. Notion de séries et séries de références.

I.5. Reste d'une série convergente.

Définition.

Si $S=\sum a_n$ est une série convergente, alors le reste de cette série est la suite $(R_n)$ définie par : $$\forall n\in\SetN,\:\:R_n\=\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k$$

Remarques.

La suite $(S_n+R_n)$ est constante égale à la limite de la série.
$R_n\tendvers{n}{+\infty}0$
$(R_n)$ peut servir à estimer la rapidité de convergence de la série ou encore l'erreur commise si on approche la limite de la série par $S_n$.

Exercice.^³

Montrer que pour tout $k$ de $\SetN^*$, on a : $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\:\:\leq\:\:\frac{1}{k^2}\:\:\leq\:\:\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$
En déduire que la série $\:\:\ds\sum\frac{1}{k^2}\:\:$ est convergente et déterminer un équivalent du reste.

I. Notion de séries et séries de références.

I.6. Séries de références.

Théorème - les 3 séries de référence.^⁴

Riemann. La série $\ds\sum\frac{1}{n^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
Géométrique. La série $\ds\sum q^n$ est convergente si et seulement si $|q|<1$. En cas de convergence, on a : $$\sum_{k=0}^{+\infty}q^k \=\frac{1}{1-q}\hskip2cm R_n\=\sum_{k=n+1}^{+\infty}q^k \=\frac{q^{n+1}}{1-q}\hskip2cm$$
Exponentielle. La série $\ds\sum \frac{a^n}{n!}$ est convergente pour toute valeur de $a$ et : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^n}{n!} \=e^a$$

Exercice.^⁵

Soit $x$ un réel tel que $|x|<1$. Montrer que la série $\:\:\ds\sum_{n\geq 0} x^n\cos(nx)\:\:$ est convergente et déterminer sa limite.