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Cours Séries numériques. |
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres | Plan du chapitre |
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I. Notion de séries et séries de références. I.1. Définition.
Définitions.
Soit $(a_n)$ une suite de $\SetK$.
Remarques.
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I. Notion de séries et séries de références. I.2. Dérivation discrète $($HP$)$.
Définition.
L'application $\Delta$ de $\mathcal{F}(\SetN,\SetK)$ dans $\mathcal{F}(\SetN,\SetK)$ définie par :
$$\Delta(u)_n\=\left\{\begin{array} {cl}%
u_{n}-u_{n-1}&\hbox{ si $n\neq 0$}\\
u_0& \hbox{ sinon}
\end{array}%
\right.$$
est appelée dérivée discrète.
Remarques.
Analogie.
$$\begin{array} {|c|c|}%
\hline
&\\
\hskip 1cm \hbox{Continue}\hskip 1cm~&\hskip 1.1cm\hbox{Discret}\hskip 1.1cm~\\
&\\
\hline
\hline
&\\
f&(u_n)\\
\Haut{0.6}f'&\Delta(u)\\
\Haut{0.6}f(x)&\ds u_n\\
\Haut{0.6}\ds\int_a^x f&\sum u_n\\
&\\\hline
\end{array}%
$$
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I. Notion de séries et séries de références. I.3. Divergence grossière.
Propriétés.1
Exemple.
$\ds\sum\cos\hbox{$\left(\frac{1}{n}\right)$}$ est divergente.
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I. Notion de séries et séries de références. I.4. Opérations sur les séries.
Propriétés.2
Remarques.
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I. Notion de séries et séries de références. I.5. Reste d'une série convergente.
Définition.
Si $S=\sum a_n$ est une série convergente, alors le reste de cette série est la suite $(R_n)$ définie par :
$$\forall n\in\SetN,\:\:R_n\=\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k$$
Remarques.
Exercice.3
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I. Notion de séries et séries de références. I.6. Séries de références.
Théorème - les 3 séries de référence.4
Exercice.5
Soit $x$ un réel tel que $|x|<1$. Montrer que la série $\:\:\ds\sum_{n\geq 0} x^n\cos(nx)\:\:$ est convergente et déterminer sa limite.
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