$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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IV. Espaces de fonctions et intégration.
IV.1. Espace vectoriel des fonctions intégrables.
Définitions.
Soit $I=]\!\![a,b]\!\![$ un intervalle de $\SetR$. On note :
$$\begin{array} {lcl}%
\ds L^1(I,\SetK)&\=&\ds \left\{\:\:\Haut{0.5}f\in\mathcal{C}_m(I,\SetR)\:\:/\:\:\:\int_a^b|f|\:\:\hbox{ convergente}\:\:\right\}\\
\Haut{0.8}\ds L_{c}^1(I,\SetK)&\=&\ds \left\{\:\:\Haut{0.5}f\in\mathcal{C}(I,\SetR)\:\:\:\:\:/\:\:\:\int_a^b|f|\:\:\hbox{ convergente}\:\:\right\}\\
\end{array}%
$$
Remarques.
- $L^1(I,\SetK)$ est l'ensemble des fonctions intégrables sur $I$.
- $L_{c}^1(I,\SetK)$ est l'ensemble des fonctions continues et intégrables sur $I$.
Rappels.
- Une norme sur un $\SetK$-espace vectoriel $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\SetR^+$ vérifiant pour tous $x$ et $y$ de $E$ et pour tout $\lambda$ de $\SetK$ :
- $N(x)=0\:\Longleftrightarrow\: x=0\hskip1.8cm ($séparation$)$
- $N(\lambda.x)\=|\lambda|.N(x)\:\:\:\hskip1.6cm ($homogénéité$)$
- $N(x+y)\:\leq\: N(x)+N(y)\:\:\:\hskip0.6cm ($inégalité triangulaire$)$
- Une semi-norme est presque une norme. Il lui manque la séparation.
Théorème.34
-
Les espaces $L^1(I,\SetK)$, $L^1_{c}(I,\SetK)$ sont des $\SetK$-espaces vectoriels.
- $\ds\|f\|_1=\int_a^b|f|$ est une norme sur $L^1_{c}(I,\SetK)$ et une semi-norme sur $L^1(I,\SetK)$.
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IV. Espaces de fonctions et intégration.
IV.2. Espace vectoriel des fonctions de carré intégrable.
Définitions.
Soit $I=]\!\![a,b]\!\