$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
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\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
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\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$.
III.1. Convergence absolue.
Définitions.
- L'intégrale $\:\ds\int_{_I}f\:\:$ est dite absolument convergente si et seulement si
$\:\:\ds\int_a^b|f|$ est convergente.
- Toute intégrale convergente et non AC est dite semi-convergente.
- $f$ est dite intégrable sur $I$ ssi $f$ est continue par morceaux et $\:\ds\int_{_I}f\:$ est absolument convergente.
Théorème.20
Toute intégrale AC sur $I$ est convergente sur $I$.
Remarque.
Ce théorème est très utile puisqu'il nous permet de se ramener à l'intégrale d'une fonction à valeurs dans $\SetR^+$ et d'utiliser toutes les résultats de la section précédente.
Exercice.21
- Montrer que $f$ est intégrable sur $]a,b]$ si et seulement si $x\mapsto f(x+a)$ est intégrable sur $]0;b-a]$
- Soit $a$ et $b$ dans $\SetR$ tels que $b>a$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $\alpha$ pour que la fonction :
$$f_a(x)\=\frac{1}{(x-a)^\alpha}$$
soit intégrable sur $[a,b[$.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$.
III.2. Intégrale de Dirichlet et conséquences.
Exercice.22
Soit $\alpha$ dans $\SetR$. Notons :
$$D_\alpha\:\=\:\int_1^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t^\alpha}dt$$
- Soit $\beta$ dans $\SetR^*$. Montrer que pour tout $\alpha$ de $\SetR$, l'intégrale $D_\alpha$ est de même nature que :
$$
S_{\alpha,\beta}\:\=\:\int_1^{+\infty}\frac{\sin(\beta t)}{t^\alpha}dt
$$
On pourra remarquer $($aucune preuve demandée$)$ et utiliser qu'on a, dans chaque question, un
résultat similaire en remplaçant $sin$ par $cos$.
- Si $\alpha>1$, montrer que $D_\alpha$ est absolument convergente.
- Si $\alpha\in]0,1]$, montrer que :
- $D_\alpha$ est convergente.
- $D_\alpha$ n'est pas absolument convergente. On pourra utiliser que : $\forall x\in\SetR,\:|\sin(x)|\geq\sin^2(x)$.
- Si $\alpha\leq0$, montrer que $D_\alpha$ est divergente. On pourra montrer que la suite $(a_n)$ ne tend pas vers 0 avec :
$$a_n\:\=\:\int_{\pi n}^{\pi n+\pi}\frac{\sin(t)}{t^\alpha}dt$$
Exercice - intégrales de Fresnel.23
Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes :
$$\int_0^{+\infty}\!\!\sin(x^2)dx\hskip2cm\int_0^{+\infty}\!\!\cos(x^2)dx$$
Exercice.24
Montrer que l'intégrale $\ds\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2(t)}{t^2}dt$ est convergente et qu'elle vaut $\ds\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt$.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$.
III.3. Comparaison à une fonction intégrable.
Théorème.25
Soient $I$ un intervalle de $\SetR$, $f$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetR)$ et $g$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetR^+)$. On a alors :
$$
\left\{\begin{array}{l}
|f|\:\:\leq\:\: g\\[0.1cm]
g\text{ intégrable sur }I
\end{array}
\right.
\hskip1cm\Longrightarrow\hskip1cm
f\text{ intégrable sur }I
$$
Remarques.
- Ceci permet de gérer tous les valeurs où l'intégrale est impropre en même temps.
- Les valeurs absolues autour de $f$ sont indispensables !
Exercice.26
Montrer que l'intégrale $\:\:\ds\int_0^{+\infty}\!\frac{\sin(t)}{t}e^{-t}dt\:\:$ est convergente.
Exercice.27
Pour $f$ et $g$ dans $E=\mathcal{C}([-1,1],\SetR)$, posons
$$(f/g)\=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
- Montrer que l'intégrale définissant $\:(.\!.\!./.\!.\!.)\:$ converge.
- Montrer que $\:(.\!.\!./.\!.\!.)\:$ est un produit scalaire sur $E$.
- Pourquoi $\:(.\!.\!./.\!.\!.)\:$ n'est pas un produit scalaire sur $\mathcal{F}([-1,1],\SetR)$.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$.
III.4. Règle du $t^\alpha$ en $\pm\infty$.
Méthode.28
Soit $f$ dans $\mathcal{C}_m([a,+\infty[,\SetC)$. S'il existe $\alpha>1$ tel que $\:\:\limite{t}{+\infty} t^\alpha |f(t)|\:\:$ existe dans $\SetR$ alors l'intégrale $\:\ds\int_a^{+\infty} \!\! f\:\:$ est AC donc convergente en $+\infty$.
Remarques.
- Idem en $-\infty$ mais faux en un réel.
- Attention, pour la rédaction, il faut refaire la preuve à chaque fois, car cette méthode n'est pas dans le programme officiel.
Exercice - intégrale de Gauss.29
Montrer que $\:\:\ds\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!e^{-x^2}dx\:\:\:\:$ est convergente.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$.
III.5. Technique de l'éclatement.
Méthode.30
Soit $f$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetC)$. Afin de prouver la convergence ou la divergence de l'intégrale $\int_If$, on décompose
$f$, souvent à l'aide d'un développement limité, comme une somme :
$$f\=f_1\:+\:...\:+\:f_n$$
avec $f_1,...,f_n$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetC)$.
- Si toutes les intégrales $\int_If_k$ convergent pour $k$ dans $[\![1,n]\!]$, alors $\int_If$ converge.
- Si toutes les intégrales $\int_If_k$ convergent pour $k$ dans $[\![1,n]\!]$ sauf une qui divergent, alors $\int_If$ diverge.
- Dans les autres cas, on ne peut pas conclure.
Attention ! 31
Soit $f$, $f_1$ et $f_2$ dans $\mathcal{C}_m(]\![a,b]\![,\SetR)$
- Le résultat est différent si on utilise la relation de Chasles au lieu de la linéarité. Pour $c$ dans $]a,b[$, l'intégrale :
$$\int_a^bf\:\=\:\int_a^cf\:+\:\int_c^bf$$
converge si et seulement si les deux intégrales de droite convergent. En particulier si les deux intégrales de droite divergent, on peut conclure à la divergence de $\int_a^bf$.
- Chaque fois que l'on utilise la linéarité de l'intégrale :
$$\int_a^bf_1+f_2\:\=\:\int_a^bf_1\:+\:\int_a^bf_2$$
il faut s'assurer que les deux intégrales convergent. On peut sinon facilement écrire des bêtises. Par exemple :
$$
\begin{array}{lllll}
\ds\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx&\=&\ds\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx\:\:\:-\:\:\:\int_0^{+\infty}\frac{e^{-2x}}{x}dx&
\hskip1cm&\text{Là les deux intégrales divergent !}\\
&\=&\ds\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx\:\:\:-\:\:\:\int_0^{+\infty}\frac{e^{-X}}{X}dX&
&\text{En posant X=2x}\\[0.2cm]
&\=&0
\end{array}$$
Alors que cette intégrale est clairement strictement positive car la fonction $x\mapsto \frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}$ est continue et strictement positive que $]0,+\infty[$.
Exercice.32
Déterminer la nature de : $\ds\int_1^{+\infty}\textstyle\ln\left(1+\frac{\sin(x)}{x}\right)dx$
Exercice.33
Étudier la convergence de l'intégrale : $\:\:\ds\int_0^{+\infty}\!\!\!\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}+\sin(x)}dx$
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