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Cours Intégrales généralisées. |
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\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
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| Liste chapitres | Plan du chapitre |
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$. III.1. Convergence absolue.
Définitions.
Théorème.20
Toute intégrale AC sur $I$ est convergente sur $I$.
Remarque.
Ce théorème est très utile puisqu'il nous permet de se ramener à l'intégrale d'une fonction à valeurs dans $\SetR^+$ et d'utiliser toutes les résultats de la section précédente.
Exercice.21
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$. III.2. Intégrale de Dirichlet et conséquences.
Exercice.22
Soit $\alpha$ dans $\SetR$. Notons :
$$D_\alpha\:\=\:\int_1^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t^\alpha}dt$$
Exercice - intégrales de Fresnel.23
Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes :
$$\int_0^{+\infty}\!\!\sin(x^2)dx\hskip2cm\int_0^{+\infty}\!\!\cos(x^2)dx$$
Exercice.24
Montrer que l'intégrale $\ds\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2(t)}{t^2}dt$ est convergente et qu'elle vaut $\ds\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt$.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$. III.3. Comparaison à une fonction intégrable.
Théorème.25
Soient $I$ un intervalle de $\SetR$, $f$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetR)$ et $g$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetR^+)$. On a alors :
$$
\left\{\begin{array}{l}
|f|\:\:\leq\:\: g\\[0.1cm]
g\text{ intégrable sur }I
\end{array}
\right.
\hskip1cm\Longrightarrow\hskip1cm
f\text{ intégrable sur }I
$$
Remarques.
Exercice.26
Montrer que l'intégrale $\:\:\ds\int_0^{+\infty}\!\frac{\sin(t)}{t}e^{-t}dt\:\:$ est convergente.
Exercice.27
Pour $f$ et $g$ dans $E=\mathcal{C}([-1,1],\SetR)$, posons
$$(f/g)\=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$. III.4. Règle du $t^\alpha$ en $\pm\infty$.
Méthode.28
Soit $f$ dans $\mathcal{C}_m([a,+\infty[,\SetC)$. S'il existe $\alpha>1$ tel que $\:\:\limite{t}{+\infty} t^\alpha |f(t)|\:\:$ existe dans $\SetR$ alors l'intégrale $\:\ds\int_a^{+\infty} \!\! f\:\:$ est AC donc convergente en $+\infty$.
Remarques.
Exercice - intégrale de Gauss.29
Montrer que $\:\:\ds\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!e^{-x^2}dx\:\:\:\:$ est convergente.
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III. Intégration des fonctions à valeurs dans $\SetR$ et $\SetC$. III.5. Technique de l'éclatement.
Méthode.30
Soit $f$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetC)$. Afin de prouver la convergence ou la divergence de l'intégrale $\int_If$, on décompose
$f$, souvent à l'aide d'un développement limité, comme une somme :
$$f\=f_1\:+\:...\:+\:f_n$$
avec $f_1,...,f_n$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetC)$.
Attention ! 31
Soit $f$, $f_1$ et $f_2$ dans $\mathcal{C}_m(]\![a,b]\
