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Cours Intégrales généralisées. |
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\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
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\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
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\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
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\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres | Plan du chapitre |
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II. Intégration des fonctions positives. II.1. Intérêt.
Remarque fondamentale.
Si $f$ continue par morceaux à valeurs dans $\SetR^+$, alors :
$$x\mapsto\int_a^xf\:\:\text{ est croissante}\hskip1cm\text{et}\hskip1cmx\mapsto\int_x^bf\:\:\text{ est décroissante}$$
ce qui permet d'affirmer en utilisant le théorème des limites monotones que :
$$\:\:\ds\int_a^b\!\!f\:\:\text{ est convergente en }b\:\:\:\text{ si et seulement si }\:\:\ds\int_a^x\!\!f\:\:\text{ est majorée}$$
$$\:\:\ds\int_a^b\!\!f\:\:\text{ est convergente en }a\:\:\:\text{ si et seulement si }\:\:\ds\int_x^b\!\!f\:\:\text{ est majorée}$$
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II. Intégration des fonctions positives. II.2. Intégrales de référence : intégrales de Riemann.
Théorème.12
Soit $s$ un réel :
Remarque.
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II. Intégration des fonctions positives. II.3. Théorème de comparaison.
Théorème.13
Soient $f$ et $g$ des fonctions continues par morceaux sur $]a,b]$ telles que
Exercice.14
Soit $s$ dans $]1;+\infty[$. Montrer que $\:\ds\int_1^{+\infty}\!\!\frac{|\sin(x)|}{x^s}dx\:\:$ est convergente.
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II. Intégration des fonctions positives. II.4. Conséquence pour les fonctions équivalentes.
Théorème.15
Soient $f$ et $g$ des fonctions continues par morceaux à valeurs dans $\SetR^+$ telles que $\:\ds\int_a^b\!f\:$ et $\:\ds\int_a^b\!g\:$ impropres en $a$. On a alors :
$$f\:\:\mathop{\sim}_{a}\:\:g\hskip1cm\Longrightarrow \hskip1cm\int_a^b\!f\:\:\:\hbox{ et }\:\int_a^b\!g\:\:\hbox{ sont de même nature.}$$
avec un résultat similaire si l'intégrale est impropre en $b$.
Exercice.16
Déterminer la nature des intégrales suivantes :
$$\int_1^{+\infty}\!\!\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx\hskip2cm\int_1^{+\infty}\!\!\!\sin\left(\frac{1}{x}\right)dx$$
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II. Intégration des fonctions positives. II.5. Théorème de comparaison série-intégrale.
Théorème.17
Soit $f$ dans $\mathcal{C}_m([1,+\infty[,\SetR^+)$ décroissante, on a alors :
$$\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)\:\:\:\:\:\hbox{ et }\:\:\:\:\int_1^{+\infty}\!\!\!\!f\:\:\:\:\:\:\hbox{ sont de même nature.}$$
Remarque.
En général, on utilise ce théorème quand $f(x)\tendvers{x}{+\infty}0$ car sinon le théorème précédent est évident puisque l'intégrale et la série sont grossièrement divergentes. C'est pourquoi nous avons supposé $f$ à valeurs dans $\SetR^+$ ce qui n'est pas nécessaire.
Exercice.18
Montrer que : $\ds\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\:\:\mathop{\sim}_{+\infty}\ln(n)$
Exercice.19
Déterminer la nature de la série : $\:\:\ds\sum\frac{1}{n\ln(n)}$
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