$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
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\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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I. Construction de l'intégrale.
I.1. Fonctions continues par morceaux.
Définitions.
Soit $f$ une fonction de $\SetR$ dans $\SetR$.
- $f$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ ssi il existe une subdivision $(x_0,...,x_n)$ de $[a,b]$ telle que pour tout $i$ de $\{0,...,n-1\}$ :
- $f$ est continue sur $]x_i,x_{i+1}[$,
- $\limite{x}{x_i^+}\!f(x)\:\:$ et $\:\:\limite{x}{x_{i+1}^-}\!f(x)\:\:$ existent dans $\SetR$.
- $f$ est continue par morceaux sur l'intervalle $I$ ssi elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans $I$.
- On note $ \mathcal{C}_m(I,\SetR)$ l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur $I$.
Exemples.
- Une fonction continue par morceaux sur un segment $[a,b]$ :
- $f(x)=\frac{1}{x}$ est continue par morceaux sur $\SetR^*_+$ et sur $\SetR_-^*$. Par contre si on prolonge $f$ en 0, elle n'est pas continue par morceaux sur $\SetR$
Propositions.1
- Si $f$ est continue sur $I$ alors $f$ est continue par morceaux sur $I$.
- Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée et elle a un nombre fini de discontinuités.
- Une CL d'applications continues par morceaux sur un intervalle $I$ est encore une fonction continue par morceaux sur $I$.
Ainsi $\mathcal{C}_m(I,\SetR)$ est un $\SetR$-ev.
- Un produit d'applications continues par morceaux sur un intervalle $I$ est encore une fonction continue par morceaux sur $I$.
$\:\:($CC : $\mathcal{C}_m(I,\SetR)$ devient une $\SetR$-algèbre$)$.
Remarque.
Contrairement à une fonction continue par morceaux sur un segment, une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque peut avoir une infinité de points de discontinuité. Par exemple, la fonction partie entière est continue par morceaux sur $\SetR$ et a un nombre infini de discontinuité.
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I. Construction de l'intégrale.
I.2. Rappel : construction de l'intégrale sur un segment
Construction.
- On commence par définir l'intégrale des fonctions en escaliers. Cette intégrale est la somme des aires algébriques des rectangles situés entre la courbe et l'axe $(0x)$.
- Ensuite pour une fonction $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$, on définit :
$$\int_a^bf\=sup\left\{\int_a^bg\:\:\:/\:\:\:g\in\mathcal{E}([a,b],\SetR)\hbox{ et }g\leq f\right\}$$
- si $a>b$, on pose : $\ds\int_a^bf=-\int_b^a f$
- Enfin si $f$ est continue par morceaux de $[a,b]$ dans $\SetC$ :
$$\int_a^b f\=\int_a^b Re(f)+i\int_a^b Im(f)$$
Proprietes.2
Soient $f$ est $g$ dans $\mathcal{C}_m([a,b],\SetR)$ et $\lambda$, $\mu$ dans $\SetR$.
- linéarité : $\ds\int_a^b\lambda f+\mu g\=\lambda \int_a^bf +\mu\int_a^b g$
- Chasles : $\ds\int_x^z f\=\ds\int_x^y f+\ds\int_y^z f$ pour tous $x$, $y$, $z$ de $[a,b]$
- Croissance : $f\leq g\:\Longrightarrow \ds\int_a^b f\leq \int_a^b g$
- Stricte croissance avec des fonctions continues: Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ alors : $$f< g\:\Longrightarrow \ds\int_a^b f< \int_a^b g$$
- Inégalité triangulaire : $\ds \left|\int_a^b f\:\right|\:\:\leq \int_a^b \left|f\right|$
- Intégrale et primitive : si $f$ est continue et $F$ est une primitive de $f$ alors : $\ds\int_a^b f\=[F(x)]_a^b$
- IPP : si $f$ et $g$ sont $C^1$ sur $[a,b]$ alors : $\int_a^b fg'\=[fg]_a^b-\int_a^b f'g$
- Changement de variable : si $\phi$ est $C^1$ sur $[a,b]$ alors :
$$\ds\int_{a}^{b}f(\phi(x))\phi'(x)dx\=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(X)dX$$
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I. Construction de l'intégrale.
I.3. Intégrale généralisée.
Définition de l'intégrale généralisée.
- Soit $f$ est dans $\mathcal{C}_m([a,b[,\SetK)$ avec $b\in\SetR\cup\{+\infty\}$. On dit que l'intégrale $\ds\int_a^b\!\!f$ converge ssi $\:\:\limite{x}{b}\ds\int_a^x\!\!f\:\:$ existe. Cette limite est encore notée $\:\:\ds\int_a^b\!\!f\:$. On parle d'intégrale impropre en $b$.
- Soit $f$ est dans $\mathcal{C}_m(]a,b],\SetK)$ avec $a\in\SetR\cup\{-\infty\}$. On dit que l'intégrale $\ds\int_a^b\!\!f$ converge ssi $\:\:\limite{x}{a}\ds\int_x^b\!\!f\:\:$ existe. Cette limite est encore notée $\:\:\ds\int_a^b\!\!f\:$. On parle d'intégrale impropre en $a$.
- Soit $f$ est dans $\mathcal{C}_m(]a,b[,\SetK)$ avec $a\in\SetR\cup\{-\infty\}$ et $b\in\SetR\cup\{+\infty\}$. On dit que l'intégrale $\ds\int_a^b\!\!f$ converge ssi il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que $\ds\int_a^c\!\!f$ et $\ds\int_c^b\!\!f$ convergent. Dans ce cas on pose :
$$\int_a^b\!\!f\=\int_a^c\!\!f+\int_c^b\!\!f$$
On parle d'intégrale impropre en $a$ et $b$.
Remarques.
- On a encore $\ds\int_a^bf=-\int_b^a f$ et $\:\:\:\ds\int_a^b f\=\int_a^b Re(f)+i\int_a^b Im(f)$.
- Ainsi face une intégrale, on cherche tout d'abord les valeurs pour lesquelles elle est impropre. Ce sont les valeurs du domaine d'intégration pour lesquelles la fonction n'est pas définie. Puis on étudie la convergence en ces points et enfin on calcule la valeur de l'intégrale.
- Dans le point 3 de la définition, s'il existe une valeur $c$ qui convient alors toutes les valeurs de $]a,b[$ conviennent. De plus, l'intégrale $\:\:\ds\int_a^b\!\!f\:\:$ ne dépend pas de $c$.
Exercices.3
- Montrer que :
$$\:\:\:\int_0^{1}\ln(x)dx\=-1
\hskip2.5cm
\ds\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\=2
\hskip2.5cm
\ds\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\=\frac{\pi}{2}$$
- puis montrer que $\ds\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}dx$ converge si et seulement si $\alpha>0$
Attention.
Lorsque l'intégrale est impropre sur les deux bornes, il faut bien gérer les deux bornes séparément. Le raisonnement suivant est faux :
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!xdx\=\limite{a}{+\infty}\int_{-a}^{a}xdx\=\limite{a}{+\infty}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-a}^a\=\limite{a}{+\infty}0\=0$$
C'est faux car $\ds\int_0^{+\infty}\!\!xdx$ est divergente, il en est donc de même pour $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!xdx$.
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I. Construction de l'intégrale.
I.4. Propriétés élémentaires.
Notations.
- $]\!\![a,b]\!\![$ désignera indifféremment $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$ ou $[a,b]$. Lorsque l'intervalle est ouvert, les bornes peuvent valoir $\pm\infty$. De plus, on notera $\SetK$ l'ensemble $\SetR$ ou $\SetC$.
- Pour $F$ définie de $]\!\![a,b]\!\![$ dans $\SetR$, on pose :
$${\big[F(x)\big]}_a^b\:\:\=\:\:\limite{x}{b}F(x)\:-\:\limite{x}{a}F(x)$$
On dira que ce crochet converge si les limites convergent. Attention, comme pour l'intégrale, les bornes de cette double limite doivent être gérée séparément. On fait tendre $x$ vers $a$ puis $y$ vers $b$.
Propriétés.4
Les propriétés sont sensiblement les mêmes que pour l'intégrale sur un segment, mis à part quelques hypothèses de plus sur la convergence.
Soient $I=]\!\![a,b]\!\![$ un intervalle de $\SetR$ et $f$, $g$ dans $\mathcal{C}_m(I,\SetR)$ telles que $\:\:\ds\int_a^b\!f\:\:$ et $\:\:\ds\int_a^b\!g\:\:$ convergent.
- linéarité : L'intégrale $\ds\int_a^b\lambda f+\mu g$ est convergente et :
$$\int_a^b\lambda f+\mu g\=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$$
- Chasles : $\ds\int_x^z f\=\ds\int_x^y f+\ds\int_y^z f$ pour tous $x$, $y$, $z$ de $[a,b]$
- Croissance : $f\leq g\:\Longrightarrow \ds\int_a^b f\leq \int_a^b g$
- Stricte croissance avec des fonctions continues: Si $f$ et $g$ sont continues sur $]\![a,b]\![$ alors : $$f< g\:\:\:\Longrightarrow\:\:\: \ds\int_a^b f< \int_a^b g$$
- Inégalité triangulaire : si $\ds\int_a^b \left|f\right|$ est convergente alors $\ds \left|\int_a^b f\:\right|\:\:\leq \int_a^b \left|f\right|$
- Intégrale et primitive : soit $F$ une primitive d'une application continue par morceaux $f$ sur $I$. Si $[F(x)]_a^b$ converge alors : $$\ds\int_a^b f\:\=\:{\big[F(x)\big]}_a^b$$
Remarque.
- Pour utiliser l'inégalité triangulaire, il faut que $a\leq b$. Si ce n'est pas le cas, on a :
$$a\geq b\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:\ds \left|\int_a^b f\:\right|\:\:\leq \int_b^a \left|f\right|$$
- La contraposée du 4 avec $f=0$ se traduit par :
$$\left\{\begin{array}{l}
g\text{ continue}\\
\ds\int_a^bg=0\\
g\geq 0\\
\end{array}\right.
\:\:\Longrightarrow\:\:g\=0$$
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I. Construction de l'intégrale.
I.5. Intégrale faussement impropre.
Définition.
Soit $\:\ds\int_a^b\!f\:$ une intégrale impropre en $b$ avec $b$ un réel. L'intégrale est dite faussement impropre en $b$ si et seulement si $f$ admet un prolongement par continuité en $b$, c'est-à-dire si $$\:\:\limite{x}{b}f(x)\:\:\in\:\:\SetR\:$$ On a une définition similaire si l'intégrale est impropre en $a$ avec $a$ est réel.
Remarques.
- Une intégrale n'est JAMAIS faussement impropre en $\pm\infty$ !
- Lorsqu'on étudie la convergence d'une intégrale impropre en un réel $a$, on commence toujours par calculer la limite de la fonction en $a$ pour savoir s'il s'agit d'une intégrale faussement impropre.
Théorème.5
Toute intégrale faussement impropre en un réel $a$ est convergente en $a$.
Exercice.6
Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes :
$$%
\int_0^1x\ln(x)dx%
\hskip2.5cm
\int_0^\pi\frac{\sin(x)}{x}dx%
\hskip2.5cm
\int_0^1\arctan\left(\frac{1}{x}\right)dx%
$$
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I. Construction de l'intégrale.
I.6. Divergence grossière en $\pm\infty$.
Proprieté.7
Soient $f$ dans $\mathcal{C}_m([a;+\infty[,\SetR)$ et $l$ dans $\bar{\SetR}\:$. Si $\:\limite{x}{+\infty}f(x)=l\neq 0\:$ alors l'intégrale
$\ds\int_a^{+\infty}\!f$
est divergente. On dit qu'elle est grossièrement divergente.
Idem en $-\infty$
Remarques.
- Il n'y a JAMAIS de divergence grossière en un réel, c'est uniquement en $\pm\infty$.
- Contrairement aux séries, on ne peut pas conclure si $f$ n'a pas de limite. On verra par exemple que $\:\:\ds\int_0^{+\infty}\!\!\!\!\sin(x^2)dx\:\:$ est convergente.
$$\hskip4cm$$
$$
\begin{array}{ccc}
\text{Pour les séries}&\hskip2cm&\text{Pour les intégrales}\\
%
\begin{array}{|c|c|}
\hline
&\\[-0.2cm]
\text{limite de } (a_n)& \text{Nature de}\\
\text{ en }+\infty& \text{la série } \sum a_n \\[0.5cm]
\hline
\limite{n}{+\infty}a_n =0 & \hskip2cm ?\hskip2cm \\[0.3cm]
\hline
(a_n)\text{ n'a pas de limite en } +\infty& \text{diverge} \\[0.5cm]
\hline
\limite{n}{+\infty}a_n =\ell \neq 0 & \text{diverge} \\
\hline
\end{array}
%
&&
%
\begin{array}{|c|c|}
\hline
&\\[-0.2cm]
\text{Limite de } f(x) & \text{Nature de } \\
\text{ en } +\infty & \int_a^{+\infty} f(x)\,dx \\[0.5cm]
\hline
\limite{x}{+\infty}f(x) =0 & \hskip2cm ? \hskip2cm \\[0.3cm]
\hline
f\text{ n'a pas de limite en }+\infty & \; ? \; \\[0.5cm]
\hline
\limite{x}{+\infty}f(x)=\ell \neq 0 & \text{diverge} \\
\hline
\end{array}
%
\end{array}
$$
|
I. Construction de l'intégrale.
I.7. IPP et changement de variables.
Propriété.8
- IPP : si $f$ et $g$ sont $C^1$ sur $]a,b[\:$ et $\:\Big[fg\Big]_a^b\:$ converge alors $\:\:\ds\int_a^b fg'\:\:$ et $\:\:\ds\int_a^b f'g\:\:$ sont de même nature et en cas de convergence on a :
$$\int_a^b fg'\:\=\:{\Big[fg\Big]}_a^b\:-\:\int_a^b f'g$$
- Changement de variable : si $f$ est continue par morceaux sur $]a,b[$ et $\phi$ est une bijection strictement monotone de classe $C^1$ sur $]\!\![a,b]\!\