$$
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\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
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\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.1. Polynômes d'endomorphismes, de matrices.
Définitions.
Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$
- Si $u$ endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
- Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
Remarques.
- On notera que le coefficient $a_0$ devient $a_0Id$ ou $a_0I_n$.
- Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'est a pas !
Propriétés.23
Soit $u$ une endomorphisme de $E$.
- Si $u(x)=\lambda.x$ alors $P(u)(x)=P(\lambda).x$. Ainsi si $\lambda$ est valeur propre de $u$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(u)$.
- Si $Q_1$ et $Q_2$ sont dans $\SetK[X]$ alors : $(Q_1Q_2)(u)=Q_1(u)\:o\:Q_2(u)=Q_2(u)\:o\:Q_1(u)$
- Changement de base. Pour tout automorphisme $v$ de $\mathcal{L}(E)$ et tout polynôme $Q$ de $\SetK[X]$ on a :
$$Q\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:Q(u)\:o\:v$$
Idem sur les polynômes de matrices.
Exercice.24
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie et $P$ dans $\SetK[X]$. Le but de l'exercice est de montrer que :
$$\text{Sp}(P(u))\:\=\:\Big\{P(\lambda)\:/\:\lambda\in\text{Sp}(u)\Big\}$$
- Montrer que si $x$ est vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ alors $x$ est aussi vecteur propre de $P(u)$ associée à la valeur propre $P(\lambda)$. Quelle inclusion a-t-on montrée ?
- Soit $\mu$ une valeur propre de $P(u)$. En factorisant $P-\mu$ dans $\SetC[X]$, montrer en utilisant le déterminant, qu'au moins une des racines de $P-\mu$ est valeur propre de $u$. En déduire l'autre inclusion.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.2. Rappels sur les polynômes annulateurs.
Définition.
Soit $P$ polynôme de $\SetK[X]$, $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel et $A$ une matrice carrée à coefficients dans $\SetK$.
$$\begin{array}{lll}
P\text{ est annulateur de }u & \:\:\Longleftrightarrow\:\: & P(u)=0\\
P\text{ est annulateur de }A & \:\:\Longleftrightarrow\:\: & P(A)=0\\
\end{array}$$
Exemples.
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.
- $X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
- $X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.
Propriétés.25
Soit $u$ une endomorphisme de $E$ de valeurs propres distinctes $\lambda_1$,..., $\lambda_p$ et $P$ est un polynôme annulateur de $u$
- Pour tout polynôme $Q$, $PQ$ est encore un polynôme annulateur.
- Toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ $($sans réciproque$)$, c'est-à-dire :
$$\fbox{$Sp(u)\:\subset\:Rac(P)$}$$
- Ainsi $(X-\lambda_1)...(X-\lambda_p)$ divise $P$.
Idem sur les polynômes de matrices.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.3. Cayley-Hamilton.
Théorème - Cayley-Hamilton.26
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF. Le polynôme caractéristique de $u$ est un polynôme annulateur de $u$ c'est-à-dire $\PCar{u}(u)=0$. On a bien sûr un résultat similaire sur les matrices.
Exercice.27
Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\SetK)$.
- Montrer que :
$$A\text{ nilpotente}\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\text{Sp}_\SetC(A)\=\{0\}$$
Que penser de ce résultat si on considère le spectre sur $\SetR$ ?
- Montrer que l'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de taille $n×n$ ne peut dépasser $n$.
Exercice.28
Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ telle que $tr(A^k)=0$ pour tout $k$ de $\{1,...,n\}$.
- Montrer en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton que $det(A)=0$.
- En déduire que $A$ est semblable à une matrice de la forme :
$$\left(\begin{array} {c|ccc}%
0&*&...&*\\
\hline
0&&&\\
\vdots&&B&\\
0&&&\\
\end{array}%
\right)$$
où $B$ est dans $\mathcal{M}_{n-1}(\SetK)$.
- Montrer par récurrence sur $n$ que $A$ est nilpotente.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.4. Deuxième condition de diagonalisation.
Définition.
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF. Notons $\lambda_1$,...,$\lambda_p$ les vp distinctes de $u$. Alors : $$P\=(X-\lambda_1)...(X-\lambda_p)$$
est le polynôme spectral de $u$. On a une définition similaire pour les matrices.
Remarques.
- Attention, il s'agit d'une définition locale. Il faut donc impérativement le redéfinir à chaque fois que vous l'utilisez ! On en a besoin uniquement car le polynôme minimal n'est pas au programme.
- Le polynôme spectral est donc le polynôme caractéristique sans les puissances.
- On a déjà vu dans le III.1. que le polynôme spectral divise tout polynôme annulateur.
Théorème.29
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF :
$$\left\Updownarrow\begin{array}{ll}
\bullet & u\text{ diagonalisable.}\\
\bullet & \text{le polynôme spectral de $u$ est un polynôme annulateur de }u.\\
\bullet & \text{Il existe un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples.} \\
\end{array}\right.$$
Résultat encore vrai pour les matrices.
Consequences.30
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF alors :
- Soit $P=(X-\mu_1)^{\alpha_1}...(X-\mu_q)^{\alpha_q}$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ $($par exemple le polynôme caractéristique$)$ alors :
$$\left\Updownarrow\begin{array}{ll}
\bullet&u\text{ diagonalisable} \\
\bullet&\text{Le polynôme }(X-\mu_1)...(X-\mu_q)\text{ est un polynôme annulateur de }u \\
\end{array}\right.$$
- La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sev stable est encore diagonalisable.
- Si $u$ est diagonalisable alors les polynômes annulateurs de $u$ sont exactement les multiples du polynôme spectral.
Exemples.
- Les symétries sont diagonalisables car $X^2-1$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples.
- Les projections sont diagonalisables car $X^2-X$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples.
- Les matrices nilpotentes non nulles ne sont pas diagonalisables car le polynôme spectral $X$ n'est pas annulateur.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.5. Applications.
Exercice.31
Soit $$A=\left(\begin{array} {ccc}%
1&0&0\\
3&7&9\\
-3&-6&-8\\
\end{array}%
\right)$$
Calculer $A^2$. En déduire que $A$ est diagonalisable.
Exercice.32
Montrer sans calculer le polynôme caractéristique que les matrices $$
J\=\left(\begin{array} {cccc}%
1&1&...&1\\
1&1&...&1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&...&...&1\\
\end{array}%
\right)
\hskip2cm
K=\left(\begin{array} {cccc}%
0&...&0&1\\
\vdots&.^{.^.}&.^{.^.}&0\\
0&1&.^{.^.}&\vdots\\
1&0&...&0\\
\end{array}%
\right)
$$
de $\mathcal{M}_{n}(\SetR)$ sont diagonalisables sur $\SetR$. Déterminer les valeurs propres.
Exercice.33
Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ telle que $A^2$ soit diagonalisable.
- Montrer que $A$ n'est pas forcément diagonalisable.
- Montrer que si $0$ n'est pas valeur propre, alors $A$ est diagonalisable.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.6. Intérêt des endomorphismes qui commutent.
Théorème.34
Si $u$ et $v$ sont des endomorphismes d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$ qui commutent, alors $u$ laisse stable le noyau, l'image et les espaces propres de $v$.
Définitions.
- Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$. On dit que $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables s'il existe une base dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont diagonales.
- Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\SetK)$. On dit que $A$ et $B$ sont simultanément diagonalisables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ sont diagonales.
Exercice.35
Soient $u$, $v$ des endomorphismes d'un espaces vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant :
$$\left\{\begin{array}{l}
u\text{ et }v\text{ commutent.}\\
u\text{ et }v\text{ sont diagonalisables.}\\
\end{array}\right.$$
- Soit $F$ un sous espace propre de $v$. Expliquez pourquoi l'endomorphisme induit $u_{_F}$ existe et est diagonalisable.
- Montrer qu'il existe une base de $F$ formée de vecteurs qui sont propres pour $u$ et pour $v$.
- En déduire que $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
- Montrer réciproquement que si $u$, $v$ sont simultanément diagonalisables alors $u$ et $v$ commutent.
Outil important.36
Soit $D$ une matrice diagonale de taille $n\times n$ avec les coefficients diagonaux tous différents. Montrer que pour toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ :
$$M\text{ commute avec }D\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm M\text{ est diagonale}$$
- Directement en comparant $MD$ et $DM$.
- En montrant que les vecteurs propres de $D$ sont des vecteurs propres de $M$.
Méthode. Comment résoudre $Q(M)=A$ ? 37
Comment résoudre une équation matricielle de $\mathcal{M}_n(\SetK)$ d'inconnue $M$ du type :
$$Q(M)\:\=\:A$$
avec $P$ un polynôme et $A$ une matrice ayant $n$ valeur propres distinctes ?
- On vérifie que $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. On en conclue que $A$ est diagonalisable. On pose $A=PDP^{-1}$
- En multipliant par $P$ adroite et $P^{-1}$ à gauche de l'équation $Q(M)=A$, on se ramène à une équation du type :
$$Q(N)\:\=\:D$$
- On vérifie que $D$ et $N$ commutent et on redémontre l’outil. On conclue que $N$ est diagonale.
- On identifie coefficients à coefficients les matrices $Q(N)$ et $D$. On conclue.
Exercice.38
Notons $$A=\left(\begin{array} {ccc}%
0&1&2\\
1&0&-2\\
2&2&0\\
\end{array}%
\right)$$
- Montrer que $A$ est diagonalisable.
- Soit $M$ dans $\mathcal{M}_{3}(\SetR)$ telle que $M^5-M^3+M=A$. Montrer que $M$ et $A$ commutent.
- En déduire les valeurs de $M$ possibles.
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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
III.7. Trigonalisation.
Théorème.39
Soit $E$ un $\SetK$-ev de DF et $u$ un endomorphisme de $E$.
$$u\hbox{ trigonalisable sur }\SetK\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm \PCar{u}\hbox{ scindé sur }\SetK$$
Remarque.
La technique générale de trigonalisation n'est pas au programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication $($programme officiel$)$.
Exercice.40
Montrer qu'une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable.
Exercice.41
Considérons les matrices : $$A\=\left(\begin{array} {ccc}%
0&1&1\\
-1&1&1\\
-1&1&2\\
\end{array}\right)%
\hskip 2cm
C_1\=\left(\begin{array} {ccc}%
1\\
0\\
1\\
\end{array}\right)%
$$
- Déterminer le polynôme caractéristique de $A$.
- Déterminer les sev propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ?
- Déterminer $C_2$ tels que $AC_2=C_1+C_2$
- Déterminer $C_3$ tels que $AC_3=C_2+C_3$
- Déterminer $T$ triangulaire supérieur et $P$ inversible pour que $A=PTP^{-1}$.
Exercice.42
Soit $A$ une matrice carrée et $\lambda_1$, ..., $\lambda_p$ les valeurs propres distinctes de $A$. Supposons de plus que $|\lambda_1|\leq...\leq|\lambda_{p-1}|<|\lambda_{p}|$. Notons pour tout $n$ de $\SetN$ :
$$u_n\=\frac{tr(A^{n+1})}{tr(A^n)}$$
- Montrer que $u_n\tendvers{n}{+\infty}\lambda_p$
- Écrire un programme en Python permettant de trouver la vp de plus grand module d'une matrice.
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