Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.

III.1. Polynômes d'endomorphismes, de matrices.

Définitions.

Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$

Si $u$ endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$

Remarques.

On notera que le coefficient $a_0$ devient $a_0Id$ ou $a_0I_n$.
Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'est a pas !

Propriétés.^²³

Soit $u$ une endomorphisme de $E$.

Si $u(x)=\lambda.x$ alors $P(u)(x)=P(\lambda).x$. Ainsi si $\lambda$ est valeur propre de $u$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(u)$.
Si $Q_1$ et $Q_2$ sont dans $\SetK[X]$ alors : $(Q_1Q_2)(u)=Q_1(u)\:o\:Q_2(u)=Q_2(u)\:o\:Q_1(u)$
Changement de base. Pour tout automorphisme $v$ de $\mathcal{L}(E)$ et tout polynôme $Q$ de $\SetK[X]$ on a : $$Q\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:Q(u)\:o\:v$$

Idem sur les polynômes de matrices.

Exercice.^²⁴

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie et $P$ dans $\SetK[X]$. Le but de l'exercice est de montrer que : $$\text{Sp}(P(u))\:\=\:\Big\{P(\lambda)\:/\:\lambda\in\text{Sp}(u)\Big\}$$

Montrer que si $x$ est vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ alors $x$ est aussi vecteur propre de $P(u)$ associée à la valeur propre $P(\lambda)$. Quelle inclusion a-t-on montrée ?
Soit $\mu$ une valeur propre de $P(u)$. En factorisant $P-\mu$ dans $\SetC[X]$, montrer en utilisant le déterminant, qu'au moins une des racines de $P-\mu$ est valeur propre de $u$. En déduire l'autre inclusion.

III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.

III.4. Deuxième condition de diagonalisation.

Définition.

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF. Notons $\lambda_1$,...,$\lambda_p$ les vp distinctes de $u$. Alors : $$P\=(X-\lambda_1)...(X-\lambda_p)$$ est le polynôme spectral de $u$. On a une définition similaire pour les matrices.

Remarques.

Attention, il s'agit d'une définition locale. Il faut donc impérativement le redéfinir à chaque fois que vous l'utilisez ! On en a besoin uniquement car le polynôme minimal n'est pas au programme.
Le polynôme spectral est donc le polynôme caractéristique sans les puissances.
On a déjà vu dans le III.1. que le polynôme spectral divise tout polynôme annulateur.

Théorème.^²⁹

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF : $$\left\Updownarrow\begin{array}{ll} \bullet & u\text{ diagonalisable.}\\ \bullet & \text{le polynôme spectral de $u$ est un polynôme annulateur de }u.\\ \bullet & \text{Il existe un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples.} \\ \end{array}\right.$$ Résultat encore vrai pour les matrices.

Consequences.^³⁰

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF alors :

Soit $P=(X-\mu_1)^{\alpha_1}...(X-\mu_q)^{\alpha_q}$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ $($par exemple le polynôme caractéristique$)$ alors : $$\left\Updownarrow\begin{array}{ll} \bullet&u\text{ diagonalisable} \\ \bullet&\text{Le polynôme }(X-\mu_1)...(X-\mu_q)\text{ est un polynôme annulateur de }u \\ \end{array}\right.$$
La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sev stable est encore diagonalisable.
Si $u$ est diagonalisable alors les polynômes annulateurs de $u$ sont exactement les multiples du polynôme spectral.

Exemples.

Les symétries sont diagonalisables car $X^2-1$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Les projections sont diagonalisables car $X^2-X$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Les matrices nilpotentes non nulles ne sont pas diagonalisables car le polynôme spectral $X$ n'est pas annulateur.

III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.

III.6. Intérêt des endomorphismes qui commutent.

Théorème.^³⁴

Si $u$ et $v$ sont des endomorphismes d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$ qui commutent, alors $u$ laisse stable le noyau, l'image et les espaces propres de $v$.

Définitions.

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$. On dit que $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables s'il existe une base dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont diagonales.
Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\SetK)$. On dit que $A$ et $B$ sont simultanément diagonalisables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ sont diagonales.

Exercice.^³⁵

Soient $u$, $v$ des endomorphismes d'un espaces vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant : $$\left\{\begin{array}{l} u\text{ et }v\text{ commutent.}\\ u\text{ et }v\text{ sont diagonalisables.}\\ \end{array}\right.$$

Soit $F$ un sous espace propre de $v$. Expliquez pourquoi l'endomorphisme induit $u_{_F}$ existe et est diagonalisable.
Montrer qu'il existe une base de $F$ formée de vecteurs qui sont propres pour $u$ et pour $v$.
En déduire que $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
Montrer réciproquement que si $u$, $v$ sont simultanément diagonalisables alors $u$ et $v$ commutent.

Outil important.^³⁶

Soit $D$ une matrice diagonale de taille $n\times n$ avec les coefficients diagonaux tous différents. Montrer que pour toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ : $$M\text{ commute avec }D\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm M\text{ est diagonale}$$

Directement en comparant $MD$ et $DM$.
En montrant que les vecteurs propres de $D$ sont des vecteurs propres de $M$.

Méthode. Comment résoudre $Q(M)=A$ ? ^³⁷

Comment résoudre une équation matricielle de $\mathcal{M}_n(\SetK)$ d'inconnue $M$ du type : $$Q(M)\:\=\:A$$ avec $P$ un polynôme et $A$ une matrice ayant $n$ valeur propres distinctes ?

On vérifie que $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. On en conclue que $A$ est diagonalisable. On pose $A=PDP^{-1}$
En multipliant par $P$ adroite et $P^{-1}$ à gauche de l'équation $Q(M)=A$, on se ramène à une équation du type : $$Q(N)\:\=\:D$$
On vérifie que $D$ et $N$ commutent et on redémontre l’outil. On conclue que $N$ est diagonale.
On identifie coefficients à coefficients les matrices $Q(N)$ et $D$. On conclue.

Exercice.^³⁸

Notons $$A=\left(\begin{array} {ccc}% 0&1&2\\ 1&0&-2\\ 2&2&0\\ \end{array}% \right)$$

Montrer que $A$ est diagonalisable.
Soit $M$ dans $\mathcal{M}_{3}(\SetR)$ telle que $M^5-M^3+M=A$. Montrer que $M$ et $A$ commutent.
En déduire les valeurs de $M$ possibles.