Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

II. Première condition de diagonalisation.

II.3. Première Condition de diagonalisation.

Théorème.^¹⁷

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF et $\lambda_1$,...,$\lambda_p$ les vp de $u$ sur $\SetK$. Les 4 propriétés suivantes sont équivalentes : % $$\:\:\:\left\Updownarrow\:\:\begin{array} {cl} \bullet & u\text{ est diagonalisable sur $\SetK$.}\\[0.2cm] \bullet & E\:\=\:E_{\lambda_1}\:\oplus\: E_{\lambda_2}\:\oplus\:...\:\oplus\: E_{\lambda_p}\\[0.2cm] \bullet & dim(E)\:\=\:dim(E_{\lambda_1})\:+\:dim(E_{\lambda_2})\:+\:...\:+\: dim(E_{\lambda_p})\\[0.2cm] \bullet & {\PCar{u}} \text{ est scindé sur }\SetK\text{ et pour tout }i\text{ de }\{1,..., p\},\:\:dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)\\ \end{array} \right.$$

On a encore un résultat semblable sur les matrices diagonalisables.

Conséquences.^¹⁸

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension $n$.

Si $\PCar{u}$ est scindé à racines simples alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
Si $u$ a $n=dim(E)$ vp distinctes alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
Si $\PCar{u}$ n'est pas scindé sur $\SetK$ alors $u$ n'est pas diagonalisable sur $\SetK$ $($sans réciproque$)$.

Remarques.

Le théorème précédent et ses conséquences sont encore vrais pour les matrices. Il faut alors remplacer $\text{dim}(E)$ par le nombre de colonnes de la matrice.
Il existe des matrices diagonalisables sur $\SetC$ et pas sur $\SetR$. Par exemple, la matrice : $$\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}$$ est diagonalisable sur $\SetC$ car son polynôme caractéristique $(X-i)(X+i)$ est scindé à racines simples sur $\SetC$, tandis qu'elle n'est pas diagonalisable sur $\SetR$ car son polynôme caractéristique $X^2+1$ n'est pas scindé sur $\SetR$.

Méthode.^¹⁹

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$.

$\hskip2cm\begin{array} {cl}% \bullet&\text{Comment savoir si $A$ est diagonalisable ?} \\ \bullet&\text{Comment écrire $A=PDP^{-1}$, avec $D$ une matrice diagonale ?}\\ \bullet&\text{Comment trouver la puissance d'une matrice diagonalisable ?}\\ \end{array}$

On recherche les valeurs propres de $A$, souvent en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
Pour chaque valeur propre $\lambda$, on cherche une base de $E_{\lambda}$.
On conclue sur la diagonalisabilité :
1. Si on connait le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si $\PCar{A}$ est scindé et $dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)$ pour tout $i$ de $\{1,...,p\}$.
2. Si on ne connait pas le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres fait $n$.
Sur la diagonale de la matrice $D$ apparaissent les vp de $A$ répétées autant de fois que leur multiplicité. Ensuite on recolle $($dans le même ordre que les valeurs propres$)$ les bases des espaces propres trouvées précédemment pour en faire une base de $\SetR^n$. La matrice $P$ est alors la matrice associée à cette base. On a alors $A=PDP^{-1}$.
Enfin $A^n=(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)... (P^{-1}P)DP^{-1}\=PD^nP^{-1}$

II. Première condition de diagonalisation.

II.4. Exercices

Exercice - application à la puissance d'une matrice.^²⁰

Soit : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \ \end{array}\right)$$

Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\SetR$.
Trouver une base de vecteurs propres puis déterminer la matrice de changement de base $P$ pour avoir $P^{-1}AP$ diagonale
Déterminer $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.

Exercice - application aux suites récurrentes.^²¹

Considérons la suite récurrente $(u_n)$ définie par $u_0=0$, $u_1=u_2=1$ et : $$\forall n\in\SetN,\:u_{n+3}\=6u_{n+2}-11u_{n+1}+6u_n$$

Posons $X_n=\left(\begin{array} {ccc}% u_n\\ u_{n+1}\\ u_{n+2}\\ \end{array}% \right)$. Déterminer $A$ telle que pour tout $n$ de $\SetN$, $X_{n+1}=AX_n$.
Diagonaliser $A$.
En déduire $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice - application aux suites imbriquées.^²²

Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=0$ et $v_0=1$ et : $$\forall n\in\SetN,\:\left\{\begin{array} {ccccc}% u_{n+1}&=&u_n&+&v_n\\ v_{n+1}&=&-2u_n&+&4v_n\\ \end{array}% \right.$$ Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.