$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
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\newcommand{\=}{\:=\:}
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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II. Première condition de diagonalisation.
II.1. Diagonalisation, trigonalisation.
Définitions.
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev $E$ de DF et $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$
- $u$ est diagonalisable $($resp. trigonalisable$)$ si et seulement s'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale $($resp. triangulaire supérieure$)$.
- $A$ est diagonalisable $($resp. trigonalisable$)$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale $($resp. triangulaire supérieure$)$.
Remarque.
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev $E$ de DF et $A$ la matrice de $u$ dans une base quelconque, alors :
$$
\hbox{$u$ diagonalisable}\:\:\Longleftrightarrow\:\:
\hbox{$A$ diagonalisable}\hskip1cm\hbox{et}\hskip1cm
\hbox{$u$ trigonalisable}\:\:\Longleftrightarrow\:\:
\hbox{$A$ trigonalisable}$$
Propriétés.12
- Considérons un endomorphisme $u$ diagonalisable ou trigonalisable et $A$ la matrice diagonale ou triangulaire associée à $u$ dans une base adaptée. Alors sur la diagonale de $A$ se trouvent les valeurs propres de $u$ répétées autant de fois que leur multiplicité.
- Le résultat est encore vrai pour pour les matrices diagonalisables ou trigonalisables.
Exercice.13
On admet que $A=\left(\begin{array} {ccc}%
-2&-5&-4\\
2&5&2\\
1&1&3\\
\end{array}%
\right)$ est diagonalisable. Déterminer toutes les matrices diagonales semblables à $A$.
Exercice.14
Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$. Montrer que :
$$\left\{\begin{array}{l}
A\text{ diagonalisable sur }\SetK\\
A\text{ a une unique valeur propres sur }\SetK
\end{array}\right.\hskip1cm\Longleftrightarrow\hskip1cm A\text{ est une homothétie}$$
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II. Première condition de diagonalisation.
II.2. Intérêt d'une base de vecteurs propres.
Théorème.15
Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de DF, on a alors :
$$u\hbox{ diagonalisable}\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm\hbox{Il existe une base $\beta$ de $E$ formée de vecteurs propres}$$
Si $u$ est diagonalisable, on a alors ${[u]}_\beta$ diagonale
Exercice.16
Notons $f$ l'endomorphisme de $\SetR_n[X]$ définie par $f(P)=(X-1)P'$.
- Déterminer $f((X-1)^p)$ pour tout $p$ de $\{0,...,n\}$.
- En déduire que $f$ est diagonalisable sur $\SetR$.
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II. Première condition de diagonalisation.
II.3. Première Condition de diagonalisation.
Théorème.17
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF et $\lambda_1$,...,$\lambda_p$ les vp de $u$ sur $\SetK$. Les 4 propriétés suivantes sont équivalentes :
%
$$\:\:\:\left\Updownarrow\:\:\begin{array} {cl}
\bullet & u\text{ est diagonalisable sur $\SetK$.}\\[0.2cm]
\bullet & E\:\=\:E_{\lambda_1}\:\oplus\: E_{\lambda_2}\:\oplus\:...\:\oplus\: E_{\lambda_p}\\[0.2cm]
\bullet & dim(E)\:\=\:dim(E_{\lambda_1})\:+\:dim(E_{\lambda_2})\:+\:...\:+\: dim(E_{\lambda_p})\\[0.2cm]
\bullet & {\PCar{u}} \text{ est scindé sur }\SetK\text{ et pour tout }i\text{ de }\{1,..., p\},\:\:dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)\\
\end{array}
\right.$$
On a encore un résultat semblable sur les matrices diagonalisables.
Conséquences.18
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension $n$.
- Si $\PCar{u}$ est scindé à racines simples alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
- Si $u$ a $n=dim(E)$ vp distinctes alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
- Si $\PCar{u}$ n'est pas scindé sur $\SetK$ alors $u$ n'est pas diagonalisable sur $\SetK$ $($sans réciproque$)$.
Remarques.
- Le théorème précédent et ses conséquences sont encore vrais pour les matrices.
Il faut alors remplacer $\text{dim}(E)$ par le nombre de colonnes de la matrice.
- Il existe des matrices diagonalisables sur $\SetC$ et pas sur $\SetR$. Par exemple, la matrice :
$$\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0\\
\end{pmatrix}$$
est diagonalisable sur $\SetC$ car son polynôme caractéristique $(X-i)(X+i)$ est scindé à racines simples sur $\SetC$, tandis qu'elle n'est pas diagonalisable sur $\SetR$ car son polynôme caractéristique $X^2+1$ n'est pas scindé sur $\SetR$.
Méthode.19
Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$.
$\hskip2cm\begin{array} {cl}%
\bullet&\text{Comment savoir si $A$ est diagonalisable ?} \\
\bullet&\text{Comment écrire $A=PDP^{-1}$, avec $D$ une matrice diagonale ?}\\
\bullet&\text{Comment trouver la puissance d'une matrice diagonalisable ?}\\
\end{array}$
- On recherche les valeurs propres de $A$, souvent en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
- Pour chaque valeur propre $\lambda$, on cherche une base de $E_{\lambda}$.
- On conclue sur la diagonalisabilité :
- Si on connait le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si $\PCar{A}$ est scindé et $dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)$ pour tout $i$ de $\{1,...,p\}$.
- Si on ne connait pas le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres fait $n$.
- Sur la diagonale de la matrice $D$ apparaissent les vp de $A$ répétées autant de fois que leur multiplicité. Ensuite on recolle $($dans le même ordre que les valeurs propres$)$ les bases des espaces propres trouvées précédemment pour en faire une base de $\SetR^n$. La matrice $P$ est alors la matrice associée à cette base. On a alors $A=PDP^{-1}$.
- Enfin $A^n=(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)... (P^{-1}P)DP^{-1}\=PD^nP^{-1}$
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II. Première condition de diagonalisation.
II.4. Exercices
Exercice - application à la puissance d'une matrice.20
Soit : $$A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & 3 \
\end{array}\right)$$
- Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\SetR$.
- Trouver une base de vecteurs propres puis déterminer la matrice de changement de base $P$ pour avoir
$P^{-1}AP$ diagonale
- Déterminer $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.
Exercice - application aux suites récurrentes.21
Considérons la suite récurrente $(u_n)$ définie par $u_0=0$, $u_1=u_2=1$ et :
$$\forall n\in\SetN,\:u_{n+3}\=6u_{n+2}-11u_{n+1}+6u_n$$
- Posons $X_n=\left(\begin{array} {ccc}%
u_n\\
u_{n+1}\\
u_{n+2}\\
\end{array}%
\right)$. Déterminer $A$ telle que pour tout $n$ de $\SetN$, $X_{n+1}=AX_n$.
- Diagonaliser $A$.
- En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice - application aux suites imbriquées.22
Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=0$ et $v_0=1$ et :
$$\forall n\in\SetN,\:\left\{\begin{array} {ccccc}%
u_{n+1}&=&u_n&+&v_n\\
v_{n+1}&=&-2u_n&+&4v_n\\
\end{array}%
\right.$$
Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
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