Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

II. Première condition de diagonalisation.

II.2. Intérêt d'une base de vecteurs propres.

Théorème.^¹⁵

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de DF, on a alors : $$u\hbox{ diagonalisable}\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm\hbox{Il existe une base $\beta$ de $E$ formée de vecteurs propres}$$ Si $u$ est diagonalisable, on a alors ${[u]}_\beta$ diagonale

Exercice.^¹⁶

Notons $f$ l'endomorphisme de $\SetR_n[X]$ définie par $f(P)=(X-1)P'$.

Déterminer $f((X-1)^p)$ pour tout $p$ de $\{0,...,n\}$.
En déduire que $f$ est diagonalisable sur $\SetR$.

II. Première condition de diagonalisation.

II.3. Première Condition de diagonalisation.

Théorème.^¹⁷

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de DF et $\lambda_1$,...,$\lambda_p$ les vp de $u$ sur $\SetK$. Les 4 propriétés suivantes sont équivalentes : % $$\:\:\:\left\Updownarrow\:\:\begin{array} {cl} \bullet & u\text{ est diagonalisable sur $\SetK$.}\\[0.2cm] \bullet & E\:\=\:E_{\lambda_1}\:\oplus\: E_{\lambda_2}\:\oplus\:...\:\oplus\: E_{\lambda_p}\\[0.2cm] \bullet & dim(E)\:\=\:dim(E_{\lambda_1})\:+\:dim(E_{\lambda_2})\:+\:...\:+\: dim(E_{\lambda_p})\\[0.2cm] \bullet & {\PCar{u}} \text{ est scindé sur }\SetK\text{ et pour tout }i\text{ de }\{1,..., p\},\:\:dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)\\ \end{array} \right.$$

On a encore un résultat semblable sur les matrices diagonalisables.

Conséquences.^¹⁸

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension $n$.

Si $\PCar{u}$ est scindé à racines simples alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
Si $u$ a $n=dim(E)$ vp distinctes alors $u$ est diagonalisable $($sans réciproque$)$.
Si $\PCar{u}$ n'est pas scindé sur $\SetK$ alors $u$ n'est pas diagonalisable sur $\SetK$ $($sans réciproque$)$.

Remarques.

Le théorème précédent et ses conséquences sont encore vrais pour les matrices. Il faut alors remplacer $\text{dim}(E)$ par le nombre de colonnes de la matrice.
Il existe des matrices diagonalisables sur $\SetC$ et pas sur $\SetR$. Par exemple, la matrice : $$\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}$$ est diagonalisable sur $\SetC$ car son polynôme caractéristique $(X-i)(X+i)$ est scindé à racines simples sur $\SetC$, tandis qu'elle n'est pas diagonalisable sur $\SetR$ car son polynôme caractéristique $X^2+1$ n'est pas scindé sur $\SetR$.

Méthode.^¹⁹

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$.

$\hskip2cm\begin{array} {cl}% \bullet&\text{Comment savoir si $A$ est diagonalisable ?} \\ \bullet&\text{Comment écrire $A=PDP^{-1}$, avec $D$ une matrice diagonale ?}\\ \bullet&\text{Comment trouver la puissance d'une matrice diagonalisable ?}\\ \end{array}$

On recherche les valeurs propres de $A$, souvent en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
Pour chaque valeur propre $\lambda$, on cherche une base de $E_{\lambda}$.
On conclue sur la diagonalisabilité :
1. Si on connait le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si $\PCar{A}$ est scindé et $dim(E_{\lambda_i})=mult(\lambda_i)$ pour tout $i$ de $\{1,...,p\}$.
2. Si on ne connait pas le polynôme caractéristique : $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres fait $n$.
Sur la diagonale de la matrice $D$ apparaissent les vp de $A$ répétées autant de fois que leur multiplicité. Ensuite on recolle $($dans le même ordre que les valeurs propres$)$ les bases des espaces propres trouvées précédemment pour en faire une base de $\SetR^n$. La matrice $P$ est alors la matrice associée à cette base. On a alors $A=PDP^{-1}$.
Enfin $A^n=(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)... (P^{-1}P)DP^{-1}\=PD^nP^{-1}$