Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

$$ \newcommand{\SetN}{\mathbb{N}} \newcommand{\SetR}{\mathbb{R}} \newcommand{\SetC}{\mathbb{C}} \newcommand{\SetK}{\mathbb{K}} \newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\SetU}{\mathbb{U}} \newcommand\ds[0]{\displaystyle} \newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}} \newcommand{\=}{\:=\:} \newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}} \newcommand\tr[0]{\:^t\!} \newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:} \newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}} \newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}} \newcommand\Haut[1]{} \newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:} \newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:} \newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:} \newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:} \newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:} \newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}} \newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}} \newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}} \newcommand\fonction[5]{ \begin{array}{cccc} #1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\ & #4 & \mapsto & \ds #5 \ \end{array}} $$

Liste chapitres

Plan du chapitre

Section

sous-section

I. Le langage de la théorie spectrale
1. Terminologie
2. Propriétés des espaces propres
3. Le polynôme caractéristique.
4. Multiplicités des valeurs propres.
5. Exemples de calculs de polynômes caractéristiques.
6. Polynôme caractéristique et sev stables.

II. Première condition de diagonalisation.
1. Diagonalisation, trigonalisation.
2. Intérêt d'une base de vecteurs propres.
3. Première Condition de diagonalisation.
4. Exercices

III. Polynômes annulateurs et deuxième condition de diagonalisation.
1. Polynômes d'endomorphismes, de matrices.
2. Rappels sur les polynômes annulateurs.
3. Cayley-Hamilton.
4. Deuxième condition de diagonalisation.
5. Applications.
6. Intérêt des endomorphismes qui commutent.
7. Trigonalisation.

Ici sera la liste des chapitres !!!

I. Le langage de la théorie spectrale

I.1. Terminologie

Définitions.

Soient $E$ un $\SetK$-ev de dimension n, $u$ un endomorphisme de $E$, $\lambda$ dans $\SetK$ et $x$ dans $E$.

$\lambda$ est une valeur propre $($vp$)$ de $u$, si et seulement s'il existe un $x$ dans $E$ non nul vérifiant $u(x)=\lambda.x$.
On note $Sp_{_\SetK}(u)$ l'ensemble des vp de $u$ dans $\SetK$ ou $Sp(u)$ s'il n'y a pas d'ambiguïté. C'est le spectre de $u$.
Soit $\lambda$ une vp de $u$. Les vecteurs propres $($Vp$)$ de $u$ associés à la vp $\lambda$ sont les $x$ non nuls de $E$ vérifiant $u(x)=\lambda.x$
Soit $\lambda$ dans $\SetK$ $($pas forcément une vp$)$. On note : $$E_\lambda\=\{x\in E\:/\:u(x)=\lambda.x\}\=Ker(\lambda Id_{_E}-u)$$ c'est l'espace propre associée à $\lambda$. Si $\lambda$ est une vp alors $E_{_\lambda}$ contient 0 et l'ensemble des Vp de $\lambda$.
Les vp, Vp et espaces propres d'une matrice carrée $A$ sont les vp, Vp et espaces propres de l'AL canoniquement associées à $A$.

Remarques.

En particulier $E_0$ est le noyau de $u$ et $E_1$ le sev des vecteurs invariants.
On voit parfois $E_\lambda=Ker(u-\lambda Id_{_E})$ ce qui est strictement identique.
On a l'équivalence : $x$ vecteur propre de $u$ si et seulement si la droite $\text{Vect}(x)$ est stable par $u$.

Exercice.^¹

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des endomorphismes suivant : $$ \fonction{\phi}{\mathcal{C}^\infty}{\mathcal{C}^\infty}{f}{f'}\hskip3cm \fonction{\psi}{\SetR[X]}{\SetR[X]}{P}{XP}$$ En déduire qu'un endomorphisme peut n'avoir aucune valeur propre ou en avoir une infinité.

I. Le langage de la théorie spectrale

I.2. Propriétés des espaces propres

Propriétés.^²

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$, $\lambda$ un élément de $\SetK$ et $E_\lambda$ l'espace propre associé à $\lambda$.

$E_{_\lambda}$ est un sev de $E$ stable par $u$.
Les propositions suivantes sont équivalentes : $$\left\Updownarrow\begin{array} {cl} \Haut{0.5}\bullet&\lambda \hbox{ est une vp de }u\\ \Haut{0.5}\bullet&E_{_\lambda}\neq\{0\}\\ \Haut{0.5}\bullet&dim(E_{_\lambda})\neq 0\\ \Haut{0.5}\bullet&\lambda Id_{_E}-u\text{ est non injective.}\\ \end{array} \right.$$
0 est vp $\:\:\Longleftrightarrow\:\:u$ non injective.
Soit $\lambda_1$, $\lambda_2$,..., $\lambda_p$ des valeurs propres distinctes de $u$. On a alors : $$E_{\lambda_1}\:\oplus\: E_{\lambda_2}\:\oplus\: ... \:\oplus\: E_{\lambda_p}$$ Ainsi,

Conséquences.^³

Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distincts est libre.
Si $E$ soit de dimension finie $n$ alors $u$ admet au plus $n$ valeurs propres distinctes.

Remarque importante.

Soient $\lambda_1$, ..., $\lambda_p$ les vp d'un endomorphisme $E$ de dimension finie. En recollant les bases des espaces propres $E_{\lambda_1}$,..., $E_{\lambda_p}$, on obtient une famille libre. On la complète en une base $\beta$ à l'aide du théorème de la base incomplète. Dans cette base $\beta$, la matrice de $u$ est de la forme : $$ %[u]_\beta\=\left(\begin{array} {cccc|ccc}% %\lambda_1&0&...&0&*&...&*\\ %0&\ddots&\ddots&\vdots&*&...&*\\ %\vdots&\ddots&\ddots&0&*&...&*\\ %\vdots&...&\ddots&\lambda_n&*&...&*\\ %\vdots&...&...&0&*&...&*\\ %\vdots&...&...&\vdots&*&\ddots&*\\ %0&...&...&0&*&...&*\\ %\end{array}% %\right) % [u]_\beta\=\left(\begin{array} {cccc|ccc}% \lambda_1&&&&&\\ &\ddots&&(0)&&&\\ &&\ddots&&&(*)&\\ &&&\lambda_n&&&\\ &&&&*&&\\ &(0)&&&&\ddots&\\ &&&&(*)&&*\\ \end{array}% \right) $$

I. Le langage de la théorie spectrale

I.3. Le polynôme caractéristique.

Rappels.

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie. Alors les déterminants des matrices associées à $u$ sont identiques dans toutes les bases de $E$. Ce déterminant commun est appelé le determinant de $u$ et est noté $det(u)$. Ainsi, pour toute base $\beta$ de $E$, on a : $$det(u)\=\det\left([u]_{_\beta}\right)$$

Définition.

Soit $E$ un $\SetK$-ev de DF et $u$ un endomorphisme de $E$. Le polynôme caractéristique de $u$ est le polynôme : $$\PCar{u}(x)\=det(x Id-u)$$ Par extension, le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $A$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.

Propriétés.^⁴

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev de dimension $n$ finie.

$\PCar{u}$ est un polynôme de degré $n$.
Les racines de $\PCar{u}$ sur $\SetK$ sont exactement les vp de $u$ sur $\SetK$.
Sur les coefficients de $\PCar{u}$ : le polynôme caractéristique est de la forme : $$X^n\:-\:tr(u)X^{n-1}\:+\:...\:+\:(-1)^ndet(u)$$ Ainsi le coefficient dominant vaut 1 $($le polynôme caractéristique est donc unitaire$)$, le coefficient sous-dominant $($c'est-à-dire le coefficient de $X^{n-1})$ vaut $-tr(u)$ et le coefficient constant vaut $(-1)^n det(u)$,
Si $A$ et $B$ sont semblables alors $\PCar{A}=\PCar{B}$. Ainsi le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.
Si $A$ est une matrice triangulaire $($ou diagonale$)$ alors les valeurs propres de $A$ sont les éléments diagonaux.

Exemple.

Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{2}(\SetK)$ alors : $$\PCar{A}=X^2-tr(A).X+det(A)I_2$$

I. Le langage de la théorie spectrale

I.4. Multiplicités des valeurs propres.

Définition.

En dimension finie, l'ordre de multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ est l'ordre de multiplicité de la racine $\lambda$ dans le polynôme caractéristique. On la notera $mult(\lambda)$.

Proposition.^⁵

Dans $\SetC$, le polynôme caractéristique est scindé. Ainsi $u$ a exactement $n=dim(E)$ valeurs propres comptées avec leur multiplicité. Notons $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ ces valeurs propres, on a alors : $$\left\{\begin{array}{lllllll} det(u)&\=&\lambda_1&\:\times\:&...&\:\times\:&\lambda_n\\ tr(u)&\=&\lambda_1&\:+\:&...&\:+\:&\lambda_n\\ \end{array}\right.$$ Si les valeurs propres ne sont pas écrites autant de fois que leur multiplicité, il faut en tenir compte. Ainsi si $\mu_1,...,\mu_p$ sont les valeurs propres distinctes de $u$, on a : $$\left\{\begin{array}{lllcccc} det(u)&\=&\mu_1^{\text{mult}(\mu_1)}&\:\times\:&...&\:\times\:&\mu_p^{\text{mult}(\mu_p)}\\ tr(u)&\=&\text{mult}(\mu_1)\mu_1&\:+\:&...&\:+\:&\text{mult}(\mu_p)\mu_p\\ \end{array}\right.$$

Exercice.^⁶

Soit $A$ un matrice à coefficients réels. :

Montrer que $\lambda$ valeur propre de $\:A\:$ d'ordre $\:p\:$ ssi $\:\bar{\lambda}$ valeur propre de $A$ d'ordre $p$.
Montrer que si $E_\lambda=\text{Vect}(e_1,...,e_p)$ alors $E_\lambda=\text{Vect}(\overline{e_1},...,\overline{e_p})$.
En déduire que les espaces propres $E_{\lambda}$ et $E_{\bar{\lambda}}$ sont de même dimension.

I. Le langage de la théorie spectrale

I.5. Exemples de calculs de polynômes caractéristiques.

Exercice.^⁷

Déterminer le polynôme caractéristique et les espaces propres de la matrice : $$A\=\begin{pmatrix} 2&1&-2\\ 4&1&-3\\ 8&4&-7\\ \end{pmatrix}$$

Exercice.^⁸

Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$. Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible alors $\PCar{AB}=\PCar{BA}$. On verra en TD que l'hypothèse "$A$ ou $B$ inversible" n'est pas nécessaire.

Exercice - Matrice compagnon.^⁹

Soit $\:P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0\:$ un polynôme unitaire de $\SetK[X]$. Montrer que le polynôme caractéristique associé à la matrice : $$\left(\begin{array} {cccccc}% 0&0&0&...&0&-a_0\\ 1&0&0&...&0&-a_1\\ 0&1&0&...&0&-a_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ 0&0&...&1&0&-a_{n-2}\\ 0&0&...&0&1&-a_{n-1}\\ \end{array}% \right)\:\:\=\:\: \left(\begin{array} {c|c}% 0&-a_0\\ \hline ~\hskip0.8cm I_{n-1}\hskip0.8cm~&\begin{array} {c}% -a_{1}\\ -a_{2}\\ \vdots\\ -a_{n-2}\\ -a_{n-1}\\ \end{array}% \\ \end{array}% \right) $$ est le polynôme $P$. Cette matrice est la matrice compagnon de $P$.

I. Le langage de la théorie spectrale

I.6. Polynôme caractéristique et sev stables.

Rappels.

Soit $F$ est un sev de $E$ de DF stable par un endomorphisme $u$ de $E$. Alors $u|_{F}^{F}$ encore noté $u_{_F}$ est l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. De plus, en notant $\beta$ une base obtenue en complétant une base $\beta'$ de $F$, la matrice $[u]_{_\beta}$ est de la forme : $$[u]_{_\beta}% \:\=\:\left(\begin{array} {c|c}% &\\ \hskip0.3cm A\hskip0.3cm~&*\\ &\\ \hline &\\ 0&\hskip0.3cm B\hskip0.3cm~\\ &\\ \end{array}% \right) \:\=\:\left(\begin{array} {c|c}% &\\ \hskip-0.03cm [u_{_{F}}]_{_{\beta'}}\hskip-0.03cm~&*\\ &\\ \hline &\\ 0&\hskip0.37cm B\hskip0.37cm~\\ &\\ \end{array}% \right) $$
De plus le déterminant d'une matrice de cette forme vaut $det(A)\times det(B)$.

Propriété.^¹⁰

Soit $F$ est un sev de $E$ de DF stable par un endomorphisme $u$ de $E$. Alors, le polynôme $\PCar{u_{_F}}$ divise le polynôme $\PCar{u}$.

Conséquence.^¹¹

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev de DF, et $\lambda$ une valeur propre de $u$, alors : $$1\:\leq\: dim(E_{_\lambda})\:\leq\: mult(\lambda)$$