$$
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\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
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\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
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\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.1. Terminologie
Définitions.
Soient $E$ un $\SetK$-ev de dimension n, $u$ un endomorphisme de $E$, $\lambda$ dans $\SetK$ et $x$ dans $E$.
- $\lambda$ est une valeur propre $($vp$)$ de $u$, si et seulement s'il
existe un $x$ dans $E$ non nul vérifiant $u(x)=\lambda.x$.
- On note $Sp_{_\SetK}(u)$ l'ensemble des vp de $u$ dans $\SetK$ ou $Sp(u)$ s'il n'y a pas d'ambiguïté.
C'est le spectre de $u$.
- Soit $\lambda$ une vp de $u$. Les vecteurs propres
$($Vp$)$ de $u$ associés à la vp $\lambda$ sont les $x$ non nuls de $E$
vérifiant $u(x)=\lambda.x$
- Soit $\lambda$ dans $\SetK$ $($pas forcément une vp$)$. On note : $$E_\lambda\=\{x\in E\:/\:u(x)=\lambda.x\}\=Ker(\lambda Id_{_E}-u)$$
c'est l'espace propre associée à $\lambda$. Si $\lambda$ est une vp alors $E_{_\lambda}$ contient 0 et l'ensemble des Vp de $\lambda$.
- Les vp, Vp et espaces propres d'une matrice carrée $A$ sont les vp, Vp et espaces propres de l'AL canoniquement associées à $A$.
Remarques.
- En particulier $E_0$ est le noyau de $u$ et $E_1$ le sev des vecteurs invariants.
- On voit parfois $E_\lambda=Ker(u-\lambda Id_{_E})$ ce qui est strictement identique.
- On a l'équivalence : $x$ vecteur propre de $u$ si et seulement si la droite $\text{Vect}(x)$ est stable par $u$.
Exercice.1
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des endomorphismes suivant :
$$
\fonction{\phi}{\mathcal{C}^\infty}{\mathcal{C}^\infty}{f}{f'}\hskip3cm
\fonction{\psi}{\SetR[X]}{\SetR[X]}{P}{XP}$$
En déduire qu'un endomorphisme peut n'avoir aucune valeur propre ou en avoir une infinité.
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.2. Propriétés des espaces propres
Propriétés.2
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$, $\lambda$ un élément de $\SetK$ et $E_\lambda$ l'espace propre associé à $\lambda$.
- $E_{_\lambda}$ est un sev de $E$ stable par $u$.
- Les propositions suivantes sont équivalentes :
$$\left\Updownarrow\begin{array} {cl}
\Haut{0.5}\bullet&\lambda \hbox{ est une vp de }u\\
\Haut{0.5}\bullet&E_{_\lambda}\neq\{0\}\\
\Haut{0.5}\bullet&dim(E_{_\lambda})\neq 0\\
\Haut{0.5}\bullet&\lambda Id_{_E}-u\text{ est non injective.}\\
\end{array}
\right.$$
- 0 est vp $\:\:\Longleftrightarrow\:\:u$ non injective.
-
Soit $\lambda_1$, $\lambda_2$,..., $\lambda_p$ des valeurs propres distinctes de $u$. On a alors :
$$E_{\lambda_1}\:\oplus\: E_{\lambda_2}\:\oplus\: ... \:\oplus\: E_{\lambda_p}$$
Ainsi,
Conséquences.3
- Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distincts est libre.
- Si $E$ soit de dimension finie $n$ alors $u$ admet au plus $n$ valeurs propres distinctes.
Remarque importante.
Soient $\lambda_1$, ..., $\lambda_p$ les vp d'un endomorphisme $E$ de dimension finie.
En recollant les bases des espaces propres $E_{\lambda_1}$,..., $E_{\lambda_p}$, on obtient
une famille libre. On la complète en une base $\beta$ à l'aide du théorème de la base incomplète. Dans cette base $\beta$, la matrice de $u$ est de la forme :
$$
%[u]_\beta\=\left(\begin{array} {cccc|ccc}%
%\lambda_1&0&...&0&*&...&*\\
%0&\ddots&\ddots&\vdots&*&...&*\\
%\vdots&\ddots&\ddots&0&*&...&*\\
%\vdots&...&\ddots&\lambda_n&*&...&*\\
%\vdots&...&...&0&*&...&*\\
%\vdots&...&...&\vdots&*&\ddots&*\\
%0&...&...&0&*&...&*\\
%\end{array}%
%\right)
%
[u]_\beta\=\left(\begin{array} {cccc|ccc}%
\lambda_1&&&&&\\
&\ddots&&(0)&&&\\
&&\ddots&&&(*)&\\
&&&\lambda_n&&&\\
&&&&*&&\\
&(0)&&&&\ddots&\\
&&&&(*)&&*\\
\end{array}%
\right)
$$
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.3. Le polynôme caractéristique.
Rappels.
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie. Alors les déterminants des matrices associées à $u$ sont identiques dans toutes les bases de $E$. Ce déterminant commun est appelé le determinant de $u$ et est noté $det(u)$. Ainsi, pour toute base $\beta$ de $E$, on a :
$$det(u)\=\det\left([u]_{_\beta}\right)$$
Définition.
Soit $E$ un $\SetK$-ev de DF et $u$ un endomorphisme de $E$. Le polynôme caractéristique de $u$ est le polynôme :
$$\PCar{u}(x)\=det(x Id-u)$$
Par extension, le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $A$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.
Propriétés.4
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev de dimension $n$ finie.
- $\PCar{u}$ est un polynôme de degré $n$.
- Les racines de $\PCar{u}$ sur $\SetK$ sont exactement les vp de $u$ sur $\SetK$.
- Sur les coefficients de $\PCar{u}$ : le polynôme caractéristique est de la forme :
$$X^n\:-\:tr(u)X^{n-1}\:+\:...\:+\:(-1)^ndet(u)$$
Ainsi le coefficient dominant vaut 1 $($le polynôme caractéristique est donc unitaire$)$, le coefficient sous-dominant $($c'est-à-dire le coefficient de $X^{n-1})$ vaut $-tr(u)$ et le coefficient constant vaut $(-1)^n det(u)$,
- Si $A$ et $B$ sont semblables alors $\PCar{A}=\PCar{B}$. Ainsi le polynôme caractéristique est un invariant de
similitude.
- Si $A$ est une matrice triangulaire $($ou diagonale$)$ alors les valeurs propres de $A$ sont les éléments diagonaux.
Exemple.
Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{2}(\SetK)$ alors : $$\PCar{A}=X^2-tr(A).X+det(A)I_2$$
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.4. Multiplicités des valeurs propres.
Définition.
En dimension finie, l'ordre de multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ est l'ordre de multiplicité de la racine $\lambda$ dans le polynôme caractéristique. On la notera $mult(\lambda)$.
Proposition.5
Dans $\SetC$, le polynôme caractéristique est scindé. Ainsi $u$ a exactement $n=dim(E)$ valeurs propres comptées avec leur multiplicité.
Notons $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ ces valeurs propres, on a alors :
$$\left\{\begin{array}{lllllll}
det(u)&\=&\lambda_1&\:\times\:&...&\:\times\:&\lambda_n\\
tr(u)&\=&\lambda_1&\:+\:&...&\:+\:&\lambda_n\\
\end{array}\right.$$
Si les valeurs propres ne sont pas écrites autant de fois que leur multiplicité, il faut en tenir compte. Ainsi si $\mu_1,...,\mu_p$ sont les valeurs propres distinctes de $u$, on a :
$$\left\{\begin{array}{lllcccc}
det(u)&\=&\mu_1^{\text{mult}(\mu_1)}&\:\times\:&...&\:\times\:&\mu_p^{\text{mult}(\mu_p)}\\
tr(u)&\=&\text{mult}(\mu_1)\mu_1&\:+\:&...&\:+\:&\text{mult}(\mu_p)\mu_p\\
\end{array}\right.$$
Exercice.6
Soit $A$ un matrice à coefficients réels. :
- Montrer que $\lambda$ valeur propre de $\:A\:$ d'ordre $\:p\:$ ssi $\:\bar{\lambda}$ valeur propre de $A$ d'ordre $p$.
- Montrer que si $E_\lambda=\text{Vect}(e_1,...,e_p)$ alors $E_\lambda=\text{Vect}(\overline{e_1},...,\overline{e_p})$.
- En déduire que les espaces propres $E_{\lambda}$ et $E_{\bar{\lambda}}$ sont de même dimension.
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.5. Exemples de calculs de polynômes caractéristiques.
Exercice.7
Déterminer le polynôme caractéristique et les espaces propres de la matrice :
$$A\=\begin{pmatrix}
2&1&-2\\
4&1&-3\\
8&4&-7\\
\end{pmatrix}$$
Exercice.8
Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$. Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible alors $\PCar{AB}=\PCar{BA}$. On verra en TD que l'hypothèse "$A$ ou $B$ inversible" n'est pas nécessaire.
Exercice - Matrice compagnon.9
Soit $\:P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0\:$ un polynôme unitaire de $\SetK[X]$. Montrer que le polynôme caractéristique associé à la matrice :
$$\left(\begin{array} {cccccc}%
0&0&0&...&0&-a_0\\
1&0&0&...&0&-a_1\\
0&1&0&...&0&-a_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\
0&0&...&1&0&-a_{n-2}\\
0&0&...&0&1&-a_{n-1}\\
\end{array}%
\right)\:\:\=\:\:
\left(\begin{array} {c|c}%
0&-a_0\\ \hline
~\hskip0.8cm I_{n-1}\hskip0.8cm~&\begin{array} {c}%
-a_{1}\\
-a_{2}\\
\vdots\\
-a_{n-2}\\
-a_{n-1}\\
\end{array}%
\\
\end{array}%
\right)
$$
est le polynôme $P$. Cette matrice est la matrice compagnon de $P$.
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I. Le langage de la théorie spectrale
I.6. Polynôme caractéristique et sev stables.
Rappels.
- Soit $F$ est un sev de $E$ de DF stable par un endomorphisme $u$ de $E$. Alors $u|_{F}^{F}$ encore noté $u_{_F}$ est l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. De plus, en notant $\beta$ une base obtenue en complétant une base $\beta'$ de $F$, la matrice
$[u]_{_\beta}$ est de la forme :
$$[u]_{_\beta}%
\:\=\:\left(\begin{array} {c|c}%
&\\
\hskip0.3cm A\hskip0.3cm~&*\\
&\\
\hline
&\\
0&\hskip0.3cm B\hskip0.3cm~\\
&\\
\end{array}%
\right)
\:\=\:\left(\begin{array} {c|c}%
&\\
\hskip-0.03cm [u_{_{F}}]_{_{\beta'}}\hskip-0.03cm~&*\\
&\\
\hline
&\\
0&\hskip0.37cm B\hskip0.37cm~\\
&\\
\end{array}%
\right)
$$
- De plus le déterminant d'une matrice de cette forme vaut $det(A)\times det(B)$.
Propriété.10
Soit $F$ est un sev de $E$ de DF stable par un endomorphisme $u$ de $E$. Alors, le polynôme $\PCar{u_{_F}}$ divise le polynôme $\PCar{u}$.
Conséquence.11
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$-ev de DF, et $\lambda$ une valeur propre de $u$, alors :
$$1\:\leq\: dim(E_{_\lambda})\:\leq\: mult(\lambda)$$
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