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Psi - Math - Lycée Alphone Daudet
Cours

Rappels et compléments d'algèbre linéaire.

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V. Résultats classiques.

          V.3. Caractérisation des homothéties.


Exercice - Caractérisation des homothéties.68
Soit $u$ un endomorphisme de $E$.
  1. Montrer que : $$\left\Updownarrow% \begin{array}{ll} \bullet & u \text{ est une homothétie.}\\ \Haut{0.7}\bullet & (x,u(x)) \text{ est lié pour tout $x$ de }E\\ \Haut{0.7}\bullet & \forall x\in E,\:\exists\lambda_x\in\SetK,\: u(x)=\lambda_xx\\ \Haut{0.7}\bullet & u \text{ laisse stable toutes les droites vectorielles de }E\\ \end{array} \right.$$
  2. Montrer que les endomorphismes qui commutent avec tous les autres sont exactement les homothéties