$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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V. Résultats classiques.
V.1. Matrices de rang 1.
Exercice.65
Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ de rang 1.
- Montrer qu'il existe une matrice colonne non nulle $C$ et une matrice ligne non nulle $L$ vérifiant $A=CL$.
- Montrer que pour tout $n$ de $\SetN^*$, $A^n=tr^{n-1}(A).A$.
- Montrer que $A$ est semblable à une matice du type :
$$\left(\begin{array}{c|ccc}
*&0&...&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
*&0&...&0\\
\end{array}\right)
\hskip2cm\hbox{ et du type }\hskip2cm
\left(\begin{array}{cccc}
*&...&...&*\\\hline
0&...&...&0\\
\vdots&&&\vdots\\
0&...&...&0\\
\end{array}\right)
$$
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V. Résultats classiques.
V.2. Comment rendre une AL injective ? surjective ?
Méthode.66
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $G$ un supplémentaire du noyau alors :
- $f|^{{Im(f)}}$ est surjective.
- $f|_{_{G}}$ est injective.
- $f|^{{Im(f)}}_{_{G}}$ est bijective.
Exercice - théorèmes de factorisation.67
Soient $E$, $F$ et $G$ des $\SetK$-espaces vectoriels.
- Soient $f$ dans $\mathcal{L}(E,F)$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E,G)$. Montrer que :
$$Ker(f)\subset Ker(g)\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\exists h\in\mathcal{L}(F,G),\:g=h\:o\:f$$
- Soient $f$ dans $\mathcal{L}(F,E)$ et $g$ dans $\mathcal{L}(G,E)$. Montrer que :
$$Im(g)\subset Im(f)\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\exists h\in\mathcal{L}(G,F),\:g=f\:o\:h$$
- Que retrouve-t-on dans le cas où $g=Id$ ?
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V. Résultats classiques.
V.3. Caractérisation des homothéties.
Exercice - Caractérisation des homothéties.68
Soit $u$ un endomorphisme de $E$.
- Montrer que :
$$\left\Updownarrow%
\begin{array}{ll}
\bullet & u \text{ est une homothétie.}\\
\Haut{0.7}\bullet & (x,u(x)) \text{ est lié pour tout $x$ de }E\\
\Haut{0.7}\bullet & \forall x\in E,\:\exists\lambda_x\in\SetK,\: u(x)=\lambda_xx\\
\Haut{0.7}\bullet & u \text{ laisse stable toutes les droites vectorielles de }E\\
\end{array}
\right.$$
-
Montrer que les endomorphismes qui commutent avec tous les autres sont exactement les homothéties
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V. Résultats classiques.
V.4. Indice de Fitting.
Exercice.69
Soit $E$ un $K$-ev, $f\in\mathcal{L}(E)$. On note $K_n=Ker(f^n)$
et $I_n=Im(f^n)$.
- Montrer que la suite $(K_n)$ est croissante $($pour
l'inclusion$)$, et que $(I_n)$ est décroissante.
- Supposons désormais que la dimension de $E$ est fini.
Montrer que ces suites stationnent
exactement au même indice $n_0$ appelé l'indice de Fitting. On a:
$$\left\{\begin{array}{ccccccccccccc}
\{0\} & \subsetneq & K_0 & \subsetneq & K_1 & \subsetneq & ... & \subsetneq & K_{n_0} & = & K_{n_0+1} & = & ... \\
E & \supsetneq & I_0 & \supsetneq & I_1 & \supsetneq & ... & \supsetneq & I_{n_0} & = & I_{n_0+1} & = & ... \\
\end{array}\right.$$
-
Montrer que : $E=Ker(f^{n_0})\oplus Im(f^{n_0})$.
- Montrer que ${K_{n_0}}$ et ${I_{n_0}}$ sont stables par $f$, puis montrer que $f_{K_{n_0}}$ est nilpotent et $f_{I_{n_0}}$
est un automorphisme.
- En déduire qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a la forme :
$${\renewcommand\arraystretch{1.5}\left(\begin{array}{c|c}
A&0\\\hline
0&N
\end{array}\right)}$$ où $A$ est une matrice inversible et $N$ une matrice nilpotente.
- Quels sont les indices de Fitting dans le cas d'un automorphisme ? d'une symétrie ? d'une projection ?
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