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Psi - Math - Lycée Alphone Daudet
Cours

Rappels et compléments d'algèbre linéaire.

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V. Résultats classiques.

          V.1. Matrices de rang 1.


Exercice.65
Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ de rang 1.
  1. Montrer qu'il existe une matrice colonne non nulle $C$ et une matrice ligne non nulle $L$ vérifiant $A=CL$.
  2. Montrer que pour tout $n$ de $\SetN^*$, $A^n=tr^{n-1}(A).A$.
  3. Montrer que $A$ est semblable à une matice du type : $$\left(\begin{array}{c|ccc} *&0&...&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ *&0&...&0\\ \end{array}\right) \hskip2cm\hbox{ et du type }\hskip2cm \left(\begin{array}{cccc} *&...&...&*\\\hline 0&...&...&0\\ \vdots&&&\vdots\\ 0&...&...&0\\ \end{array}\right) $$