Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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IV. Algèbre linéaire.

IV.1. Produits, sommes directes et recollement de bases.

Théorème.^⁴²

Soient $E_1,..., E_n$ des $\SetK$-espace vectoriel, alors le produit cartésien $E_1\times...\times E_n$ muni des lois : $$\forall \lambda\in\SetK,\:\forall (x_1,...,x_n),\:(y_1,...,y_n)\in E_1\times...\times E_n,\:\: \left\{ \begin{array}{l} (x_1,...,x_n)\:+\:(y_1,...,y_n)\:\=\:(x_1+y_1,...,x_n+y_n)\\[0.3cm] \lambda.(x_1,...,x_n)\:\=\:(\lambda.x_1,...,\lambda.x_n) \end{array} \right.$$ est un $\SetK$-espace vectoriel.
Si les $E_1,..., E_n$ sont de dimension finie alors : $$\text{dim}(E_1\times...\times E_n)\=\text{dim}(E_1)\:+\:...\:+\:\text{dim}(E_n)$$

Définition-Théorème.

Soient $F_1$,..., $F_n$ des sous espaces vectoriels de $E$.

La somme $\:F_1+...+F_n\:$ est le sous espace vectoriel de $E$ définie par : $$F_1\:+\:...\:+\:F_n\:\=\:\Big\{\:x_1+...+x_n\:\:/\:\:\forall i\in\{1,...,n\},\:x_i\in F_i\:\Big\}$$
La somme $\:F_1+...+F_n\:$ est directe si tout élément $x$ de $F_1+...+F_n$ se décompose de manière unique en $x_1+...+x_n$ où chaque $x_i$ est dans $F_i$. On note $F_1\oplus...\oplus F_n$.

Théorème.^⁴³

Il y a équivalence entre: $$\left\Updownarrow\begin{array}{l} F_1\:\oplus\:...\:\oplus\: F_n\\[0.2cm] x_1+...+x_n=0\:\:\:\Longrightarrow\:\:\: x_1=...=x_n=0\\[0.2cm] \forall i\in\{1,...,n\},\:\:(F_1+...+F_{i-1}+F_{i+1}+...+F_n)\:\cap\:F_i\=\{0\}\\ \end{array}\right.$$

Remarques.

Attention ! $F_1\oplus...\oplus F_n$ est à la fois l'ensemble $F_1+...+F_n$ et une proposition $($unicité de la décomposition$)$.
Dans le cas $n=2$, on a : $$F_1\oplus F_2\:\:\Longleftrightarrow\:\:F_1\cap F_2=\{0\}$$
Pour que la somme soit directe, $F_1\cap F_2\cap...\cap F_n=\{0\}$ ne suffit pas, ni $F_i\cap F_j=\{0\}$ pour tout $i$ et $j$ différents. Il suffit de prendre trois droites vectorielles de $\SetR^2$ non confondues deux à deux pour avoir un contre-exemple.

Théorème - Recollement de bases.^⁴⁴

Soient $F_1,...,F_n$ des sev d'un $\SetK$-ev de DF $E$.

Notons $\beta_1$,...,$\beta_n$ des bases respectivement des sev $F_1,...,F_n$ : $$ E=F_1\oplus...\oplus F_n\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm \beta_1\cup...\cup\beta_n\hbox{ est une base de }E$$ où $\beta_1\cup...\cup\beta_n$ désigne la famille contenant la liste des vecteurs de $\beta_1$ puis ceux de $\beta_2$, etc... On dit que $\beta_1\cup...\cup\beta_n$ est une base de $E$ adaptée à la somme directe $F_1\oplus...\oplus F_n$
De plus : $$\left\{ \begin{array}{lcl} dim(F_1\oplus...\oplus F_n)&\=&dim(F_1)\:+\:...\:+\:dim(F_n)\\[0.2cm] dim(F_1+...+F_n)&\leq&dim(F_1)\:+\:...\:+\:dim(F_n) \end{array} \right.$$ De plus il y a égalité si et seulement si la somme est directe.

Remarque.

On a $\:F_1\oplus ...\oplus F_2\:\sim\: F_1\times...\times F_2\:$, puisque les dimensions sont les mêmes.

Exemple.

Ainsi, en appliquant le théorème précédent en prenant $F_1$,... $F_n$ égaux à des droites vectorielles, on trouve : $$E\:\=\:\SetK e_1\:\oplus\:...\:\oplus\: \SetK e_n \hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm (e_1,...,e_n)\:\hbox{ est une base de }E $$ On rappelle que $\SetK e_i=Vect\{e_i\}$.

IV. Algèbre linéaire.

IV.2. Sommes directes en pratique.

Méthode - Comment montrer que $E= F_1\oplus...\oplus F_n$ ? ^⁴⁵

$${\begin{array} {|c|c|} \hline ~&~\\[-0.3cm] \begin{array} {c} \text{Si on connait les dimensions des} \\ F_i\text{ et de }E\text{ et si elles sont finies.}\\ \end{array} &\text{Sinon}\\ ~&~\\[-0.3cm] \hline\hline ~&~\\[-0.3cm] \begin{array}{c} \text{Etape 1}\\[0.2cm] \text{On montre que }\:0\:\text{ se}\\ \text{décompose de manière unique dans}\\ F_1\:+\:...\:+\:F_n \end{array}& \begin{array}{c} \text{Etape 1}\\[0.2cm] \text{On montre que }\:0\:\text{ se}\\ \text{décompose de manière unique dans}\\ F_1\:+\:...\:+\:F_n \end{array}\\[0.9cm] \hline ~&~\\[-0.3cm] \begin{array}{c} \text{Etape 2}\\[0.2cm] \text{On vérifie que :}\\ dim(E)\=dim(F_1)+...+dim(F_n)\\ ~\\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{Etape 2}\\[0.2cm] \text{On montre que tout vecteur $x$}\\ \text{se décompose dans la somme}\\ F_1\:+\:...\:+\:F_n\\ \end{array}\\[0.9cm] \hline \end{array}}$$

Remarque très importante.

Si $n=2$ alors on remplace l'étape 1 par $F_1\cap F_2=\{0\}$.

Exercice - Sommes directes classiques.^⁴⁶

Montrer que : $$\ds\mathcal{M}_{n}(\SetR)\=S_{n}(\SetR)\oplus A_{n}(\SetR)$$
Montrer que : $$\mathcal{F}(\SetR,\SetR)\=\mathcal{P}(\SetR,\SetR)\:\:\oplus\:\:\mathcal{I}(\SetR,\SetR)$$ avec $\:\mathcal{P}(\SetR,\SetR)\:$ et $\:\mathcal{I}(\SetR,\SetR)\:$ les $\SetR$-ev des fonctions paires et impaires de $\SetR$ dans $\SetR$.

IV. Algèbre linéaire.

IV.3. Rang.

Définitions.

Le rang est défini pour 3 objets mathématiques différents : $$ \begin{array}{ll} \Haut{0.5}\bullet\:\:\text{Pour une matrice }A\::& \text{rg}(A)\=\text{nombre de pivots.}\\ \Haut{0.7}\bullet\:\:\text{Pour une application linéaire }f\:: & \text{rg}(f)=\text{dim}(\text{Im}(f))\\ \Haut{0.7}\bullet\:\:\text{Pour une famille de vecteurs }(u_1,...,u_p)\::\:\:\: & \text{rg}(u_1,...,u_p)=\text{dim}(vect(u_1,...,u_p))\\ \end{array} $$

Liens entre ces 3 rangs.

Soient $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $(u_1,...,u_p)$ une famille de $E$. Alors pour toutes bases $\beta_{_E}=(e_1,...,e_n)$ de $E$ et $\beta_{_F}$ de $F$ :

$rg(f)\=rg\left(\Haut{0.45}\:[f]_{\beta_E\beta_F}\:\right)$
$rg(u_1,...,u_p)\=rg\left(\Haut{0.45}\:[(u_1,...,u_p)]_{\beta_E}\:\right)$
$rg(f)\=rg\left(\Haut{0.45}f(e_1),...,f(e_n)\right)$

Propriétés.^⁴⁷

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$, alors $A$ inversible si et seulement si $rg(A)=n$.
Soit $\mathcal{F}$ une famille d'un $\SetK$-ev $E$ de DF.
- $\mathcal{F}$ est une famille libre si et seulement si $rg(\mathcal{F})$ est égal au nombre de vecteurs de $\mathcal{F}$.
- $\mathcal{F}$ est une famille génératrice de $E$ si et seulement si $rg(\mathcal{F})=dim(E)$.
- $\mathcal{F}$ est une famille base si et seulement si $rg(\mathcal{F})=dim(E)$ et si $rg(\mathcal{F})$ est égal au nombre de vecteurs de $\mathcal{F}$.
Soit $f$ une AL de $E$ dans $F$ avec $E$ et $F$ des $\SetK$-ev de DF.
- $f$ est injective si et seulement si $rg(f)=dim(E)$.
- $f$ est surjective si et seulement si $rg(f)=dim(F)$.
- $f$ est bijective si et seulement si $rg(f)=dim(E)=dim(F)$.

Remarque.

Pour trouver le rang d'une AL, d'une famille ou d'une matrice, il suffit de se ramener au rang d'une matrice et d'utiliser le pivot de Gauss.

Exercice.^⁴⁸

Soit $E$ un $\SetK$-ev de dimension $n$ et $f$, $g\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que : $$\begin{array} {ccccc}% rg(f)+rg(g)-n&\:\:\leq\:\: &rg(f\:\:o\:\:g)& \:\:\leq\:\:& min(\:rg(f),rg(g)\:)\\ \Haut{0.5}\left|\:rg(f)-rg(g)\:\right|&\:\:\leq\:\: &rg(f+g)& \:\:\leq\:\:& rg(f)+rg(g)\\ \end{array}% $$

IV. Algèbre linéaire.

IV.5. Invariants de similitude.

Définition - invariants pour une relation d'équivalence.

Soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$.

Un invariant de $\sim$ est une application dont $E$ est l'espace de départ et qui est constante sur les classes d'équivalence. Formellement, l'application $f$ est un invariant si et seulement si : $$\forall x\in E,\:\:\: x\sim y\:\:\Longrightarrow\:\: f(x)=f(y)$$
Un invariant idéal de $\sim$ est une application qui sépare les classes c'est-à-dire une application $f$ telle que : $$\forall x\in E,\:\:\: x\sim y\:\:\Longleftrightarrow\:\: f(x)=f(y)$$

Remarques.

A quoi sert un invariant ? Il sert à vérifier que 2 éléments ne sont pas équivalents. En effet si $f(x)\neq f(y)$ alors $x\sim\!\!\!\!\!\!/\:\:y$. Un invariant $($non idéal$)$ ne peut pas servir à montrer que des éléments sont équivalents.
A quoi sert un invariant idéal ? Il sert à vérifier que 2 éléments sont ou ne sont pas équivalents. En effet si $f(x)=f(y)$ alors $x\sim y$, sinon $x\sim\!\!\!\!\!\!/\:\:y$.
Quand on a une relation d'équivalence, on cherche un invariant idéal. Si on en trouve un, on s'arrête. Si on n'en a pas, on cherche autant d'invariants que possible en espérant que la quantité remplace le manque de qualité.

Propriétés.^⁵¹

Le rang, le déterminant et la trace sont des invariants pour la relation $\sim$. On dit que ce sont des invariants de similitude. Aucun d'eux n'est un invariant idéal.
Le rang est un invariant pour les relations $\simL$, $\simC$ et $\simLC$ $($Attention ce n'est pas le cas pour le déterminant et la trace$)$.
Le rang est un invariant idéal pour la relation $\simLC$, cad que pour $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_{pq}(\SetK)$ $$A\:\simLC\: B\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm rg(A)\=rg(B) $$

Définition.

Soit $u$ un endomorphisme, on appelle $det(u)$ le déterminant de l'une de ses matrices $($peut importe laquelle puisque $det$ est un invariant de similitude$)$. De même on définit $tr(u)$ la trace de l'une de ses matrices. On peut rééditer l'exploit à chaque fois que l'on découvre un invariant de similitude.

Méthode.^⁵²

Soit $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\SetK)$.

Comment montrer que $A$ et $B$ ne sont pas semblables ? On montre que $\:det(A)\neq det(B)\:\:$ ou $\:\:rg(A)\neq rg(B)\:\:$ ou $\:\:tr(A)\neq tr(B)\:$.
Comment montrer que $A$ et $B$ sont semblables ? On considère l'AL canoniquement $f_{_A}$ associée à $A$ et on montre qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f_{_A}$ est $B$.

Exercice.^⁵³

Montrer que les matrices $A$ et $B$ ne sont pas semblables dans les 3 cas suivants : $$\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline &Cas 1&Cas 2&Cas 3\rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\ \hline ~\hskip0.7cmA\hskip0.7cm~& ~\hskip0.3cm\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&4\end{array}\right)\hskip0.3cm~& ~\hskip0.3cm\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right)\hskip0.3cm~& ~\hskip0.3cm\left(\begin{array}{cc}3&0\\ 0&1\end{array}\right)\hskip0.3cm~\rule[-25pt]{0pt}{60pt}\\ % \hline B& \left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&2\end{array}\right)& \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&0\\0&0&1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&2\end{array}\right)\rule[-25pt]{0pt}{60pt}\\ \hline \end{array}$$
Montrer que : $$\left(\begin{array}{cc}0&-2\\ 1&3\end{array}\right)\:\:\:\sim\:\:\: \left(\begin{array}{cc}2&2\\ 0&1\end{array}\right)$$

IV. Algèbre linéaire.

IV.6. Projections et symétries.

Définitions.

Soit $E$ un $\SetK$-ev et $F$, $G$ des sev de $E$ tels que $E=F\oplus G$. Tout $x$ de $E$ se décompose alors de manière unique en $x_1+x_2$ avec $x_1\in F$ et $x_2\in G$.

L'application $p$ qui a $x$ associe $x_1$ est appelée projection sur $F$ de direction $G$. On a donc : $$\fonction{p}{F\oplus G}{E}{x_1+x_2}{x_1}$$
L'application $s$ qui a $x$ associe $x_1-x_2$ est appelée la symétrie par rapport à $F$ de direction $G$. On a donc : la fonction : $$\fonction{s}{F\oplus G}{E}{x_1+x_2}{x_1-x_2}$$

Théorème.^⁵⁴

Soit $E$ un $\SetK$ espace vectoriel.

Soit $p$ une application de $E$ dans $E$ alors $$p\text{ est une projection de }E\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm \left\{\:\begin{array}{l} p\text{ est une application linéaire,}\\ p\:o\:p\=p\\ \end{array}\right. $$ De plus $p$ est une projection sur $Im(p)=Ker(p-Id)$ par rapport à $Ker(p)$.
Soit $s$ une application de $E$ dans $E$ alors $$s\text{ est une symétrie de }E\hskip0.5cm\Longleftrightarrow\hskip0.5cm \left\{\:\begin{array}{l} s\text{ est une application linéaire,}\\ s\:o\:s\=Id_{_E}\\ \end{array}\right. $$ De plus $s$ est une symétrie par rapport $Ker(s-Id)$ parallèlement à $Ker(s+Id)$.
Soit $F$ et $G$ des sev de $E$ vérifiant $E=F\oplus G$. Notons $s$ la symétrie par rapport à $F$ et de direction $G$ et $p$ la projection sur $F$ par rapport à $G$. On a alors : $$s\=2p-Id$$

Remarque très utile.

Si $p$ est la projection sur $F$ de direction $G$ alors $Id-p$ est la projection sur $G$ de direction $F$.

Exercice.^⁵⁵

Soit $p$ une projection d'un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que : $\:tr(p)=rg(p)$.

Exercice.^⁵⁶

Soit $E=\mathcal{F}(\SetR, \SetR)$. Notons par $\phi$ l'application de $E$ dans $E$ définie par : $$\forall f\in E,\:\forall x\in\SetR,\:\:\:\phi(f)(x)\=f(-x)$$ Montrer que $\phi$ est une symétrie dont vous donnerez les éléments caractéristiques. Quelle est la projection associée ?

IV. Algèbre linéaire.

IV.7. Formes linéaires et hyperplans.

Définitions.

Soit $E$ un $\SetK$-ev de dimension finie.

Un sev $\:H\:$ de $\:E\:$ est un hyperplan de $\:E\:$ si et seulement sa dimension est égale à $\:dim(E)-1$.
L'espace dual de $\:E\:$ est $\:E^*=\mathcal{L}(E,\SetK)\:$. Ainsi $E^*$ contient l'ensemble des formes linéaires de $E$.

Remarques.

Les hyperplans en dimension 2 sont les droites vectorielles.
Les hyperplans en dimension 3 sont les plans vectoriels.
$dim(E^*)\=dim\left(\mathcal{L}(E,\SetK)\right)\=dim(E)$

Théorème - Liens entre formes linéaire et hyperplans.^⁵⁷

Soit $\:E\:$ un espace vectoriel $($de dimension finie$)$.

Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
Inversement, tout hyperplan est le noyau d'au moins une forme linéaire non nulle.
Les formes linéaires non nulles ayant le même hyperplan pour noyau sont proportionnelles.

Théorème - Equation d'un hyperplans.^⁵⁸

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. On se place dans une base de $E$.

Les coordonnées $(x_1,...,x_n)$ des vecteurs d'un hyperplan en DF sont exectement les solutions d'une équation du type : $$a_1x_1\:\:+\:\:...\:\:+\:\:a_nx_n\:\=\:0$$ avec $(a_1,...,a_n)\neq(0,,...,0)$.
Inversement les solutions d'une équation de ce type forment un hyperplan.
Deux équations d'un hyperplan représentent le même hyperplan si et seulement si les équations sont proportionnelles.

Remarques.

Le premier théorème est encore vrai en dimension infinie à condition d'étendre la définition des hyperplans. Pas le second puisqu'on se place dans une base.
Les droites vectorielles en dimension 2 sont de la forme $\:ax+by=0\:$ avec $\:(a,b)\neq(0,0)\:$
Les plans vectoriels en dimension 3 sont de la forme $\:ax+by+cz=0\:$ avec $\:(a,b,c)\neq(0,0,0)\:$
Les droites vectorielles en dimension 3 sont de la forme : $$\left\{\begin{array} {ccccccc}% a_1x&+&b_1y&+&c_1z&=&0\\ a_2x&+&b_2y&+&c_2z&=&0\\ \end{array}% \right.$$ avec $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ non proportionnelles $($On les exprime comme l'intersection de 2 plans sécants distincts$)$.

Exercice.^⁵⁹

Posons $H= \left\{\Haut{0.4}P\in\SetR_n[X]\:/\:P(1)=0\:\right\}$.

Montrer que $H$ est un hyperplan.
Déterminer une équation de $H$ dans la base canonique.
Déterminer toutes les formes linéaires ayant $H$ pour noyau.

IV. Algèbre linéaire.

IV.8. Parties convexes.

Définitions.

Soit $x$ et $y$ dans $E$. Le segment $[x,y]$ est l'ensemble : $$[x,y]\=\left\{\:\Haut{0.48}\lambda.x+(1-\lambda).y\:\:\:/\:\:\:\lambda\in[0,1]\:\right\}$$
Une partie $A$ de $E$ est convexe ssi pour tous $x$, $y$ de $A$, le segment $[x,y]$ est encore dans $A$. Ainsi $A$ est convexe si et seulement si : $$\forall x,y\in A,\:\:\forall\lambda\in[0,1],\:\:\:\lambda.x\:+\:(1-\lambda).y\:\:\in\:\:A$$
Un combinaison linéaire convexe (CLC) de $x_1,...,x_n$ dans $E$ est une expression du type $\:\:\lambda_1 x_1+...+\lambda_n x_n\:\:$ avec $\:\:\lambda_1+...+\lambda_n =1\:\:$ et $\:\:\lambda_1,...,\lambda_n\:\:$ dans $\SetR^+$.
Un ensemble $A$ est stable par CLC ssi pour tous $x_1,... x_n$ de $A$ les CLC de $x_1,...,x_n$ sont encore dans $A$.
Soit $A$ une partie de $E$. On note $Conv(A)$ le plus petit convexe contenant $A$. C'est l'enveloppe convexe de $A$

Exemples.

Dans $\SetR^2$ :

Théorème.^⁶⁰

$\emptyset$ est convexe.
$A$ est convexe ssi $A$ est stable par CLC
L'intersection de convexes est encore un convexe.
Les espaces vectoriels et les boules d'un evn sont convexes.
Pour toute partie $A$, l'enveloppe convexe $conv(A)$ est l'ensemble des CLC que l'on peut former avec des éléments de $A$.

Exercice.^⁶¹

Montrer que $A=\left\{\:\left[\begin{array} {ccc}% a&b\\ c&d\\ \end{array}% \right]\:\:\:/\:\:\:a+b+c+d=1\:\right\}$ est convexe. Est-ce un espace vectoriel ?

Exercice.^⁶²

Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients positifs est convexe.

Exercice.^⁶³

Montrer que dans $\SetR$, les convexes sont exactement les intervalles.

Exercice.^⁶⁴

On dit qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\SetR)$ est une matrice stochastique si :

Tous les coefficients de $M$ sont dans $[0,1]$,
La somme des coefficients d'une même ligne fait 1.

Posons $U$ la matrice colonne ne contenant que des 1. Montrer qu'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\SetR^+)$ est une matrice stochastique si et seulement si $AU=U$.
Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est un convexe de $\mathcal{M}_{n}(\SetC)$.