Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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III. Opérations élémentaires et déterminants.

III.1. Matrices d'opérations élémentaires.

Définition.

Il existe 3 opérations élémentaires $(OE)$ sur les lignes d'une matrice. $$\begin{array}{lll} \bullet & L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j & \text{avec $\lambda$ dans $\SetK$. À la ligne $i$ on additionne $\lambda$ fois la ligne $j$}\\ \bullet & L_i\leftrightarrow L_j & \text{On échange les lignes $i$ et $j$.}\\ \bullet & L_i\leftarrow \lambda L_i & \text{avec $\lambda$ dans $\SetK^*$. On multiplie la ligne $i$ par $\lambda$.}\\ \end{array} $$ Il existe les 3 mêmes OE sur les colonnes.
A chaque OE $\alpha$, on associe l'OE $\alpha^{-1}$ définie par : $$\begin{array} {|c|c|}% \hline \Haut{0.5}\alpha&\alpha^{-1}\\ \hline \hline \Haut{0.45}L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j&L_i\leftarrow L_i-\lambda L_j\\ \hline \Haut{0.45}L_i\leftrightarrow L_j&L_i\leftrightarrow L_j\\ \hline \Haut{0.45}L_i\leftarrow \lambda L_i&L_i\leftarrow \lambda^{-1} L_i\\ \hline \end{array}% $$ On définit de même l'OE $\alpha^{-1}$ s'il s'agit d'une OE sur les colonnes.
Soit $\alpha$ une OE. La matrice d'OE associée à $\alpha$ de taille $n$ est la matrice $F_\alpha$ obtenue en effectuant l'OE $\alpha$ sur la matrice unité $I_n$. Les noms de ces matrices sont respectivement : matrice de transvection, matrice de transposition et matrice de dilatation.
Si on peut passer de $A$ à $B$ par une suite d'OE sur les lignes, respectivement sur les colonnes ou sur les lignes et les colonnes, on note : $$A\:\mathop{\sim}_{^L} \:B \hskip1cm A\:\mathop{\sim}_{^C} \:B \hskip1cm A\:\mathop{\sim}_{^{LC}} \:B$$

Propriétés.^³⁴

Pour toute OE $\alpha$, la matrice $F_\alpha$ est inversible et $F_{\alpha}^{-1}=F_{\alpha^{-1}}$.
Effectuer une OE $\alpha$ sur les lignes de $A$ revient à multiplier $A$ à gauche par $F_\alpha$.
Effectuer une OE $\alpha$ sur les colonnes de $A$ revient à multiplier $A$ à droite par $F_\alpha$.
Les relations $\:\ds\mathop{\sim}_{^L}\:$, $\:\ds\mathop{\sim}_{^C}\:$ et $\:\ds\mathop{\sim}_{^{LC}}\:$ sont des relations d'équivalence sur $\mathcal{M}_{pq}(\SetK)$.

III. Opérations élémentaires et déterminants.

III.2. Pivot de Gauss.

Définition.

Une matrice est échelonnée si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
- Les lignes de $0$ sont regroupées sur le bas de la matrice c'est-à-dire que si la matrice contient une ligne de 0, les lignes suivantes sont aussi des lignes de 0.
- Les premiers coefficients non nuls de chaque ligne $($s'ils existent$)$ se décalent strictement sur la droite de ligne en ligne. En d'autres termes si le premier coefficient non nul d'une ligne est sur la colonne $i$ alors le premier coefficient non nul des lignes suivantes seront sur une colonne strictement supérieure à $i$.
Dans une matrice échelonnée, les premiers coefficients non nuls de chaque ligne sont appelés des pivots.
Une matrice est échelonnée réduite si et seulement si elle est échelonnée, les pivots sont égaux à 1 et les colonnes avec des pivots ne contiennent que des 0 à part le pivot.

Algorithmes du pivot de Gauss.

Il existe un algorithme permettant de transformer toute matrice en : $$ \renewcommand{\arraystretch}{1.1} \begin{array}{|c|c|c|} \hline ~\hskip1.5cm\text{Algorithme du}\hskip1.5cm~ & ~\hskip1.5cm\text{Matrice}\hskip1.5cm~&~\hskip1.5cm\text{Type}\hskip1.5cm~\\ \text{pivot}... & \text{obtenue} & \text{d'OE} \\ \hline \hline \begin{array}{c} \text{partiel sur} \\ \text{les lignes} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Matrice} \\ \text{échelonnée} \end{array} & \begin{array}{c} \text{OE sur} \\ \text{les lignes} \end{array} \\ \hline \text{complet sur} & \text{Matrice} & \text{OE sur} \\ \text{les lignes} & \text{échelonnée réduite} & \text{les lignes}\\ \hline \begin{array}{c} \text{sur les lignes} \\ \text{et les colonnes} \end{array} & \left(\begin{array}{c|c} I_r&0\\\hline 0&0\\ \end{array}\right) & \begin{array}{c} \text{OE sur les lignes }\\ \text{et les colonnes } \end{array} \\\hline \end{array} $$

Propriétés.^³⁵

Les seules matrices échelonnées réduites inversibles sont les matrices unités $I_n$ pour $n$ dans $\SetN^*$.
Toute matrice inversible est le produit de matrices d'OE.
Pour toute matrice, il existe une unique matrice échelonnée réduite qui lui soit équivalente par lignes.
Les matrices échelonnées équivalentes par lignes ont le même nombre de pivots. C'est par définition le rang de la matrice.

III. Opérations élémentaires et déterminants.

III.3. Décomposition LU.

Définition.

Une Matrice $A$ admet une décomposition $LU$ si et seulement s'il existe une matrice triangulaire inférieure $L$ $(L$ pour Lower$)$ avec des 1 sur la diagonale et une matrice triangulaire supérieur $U$ $(U$ pour Upper$)$ vérifiant $A=LU$.

Exercice.^³⁶

Considérons la matrice : $$A\=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 2&3&3\\ \end{array}\right)$$

Effectuer l'algorithme du pivot de Gauss sur $A$.
En déduire une décomposition $LU$ de la matrice $A$.
Montrer que cette décomposition est unique.

III. Opérations élémentaires et déterminants.

III.4. Déterminant de Vandermonde.

Théorème - Déterminant de Vandermonde.^³⁷

Soient $\lambda_0$, ..., $\lambda_n$ dans $\SetK$. $$ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} V(\lambda_0,...,\lambda_n)\:\:\mathop{\=}_{def}\:\:\left|\begin{array} {ccccc}% 1&\lambda_0&\lambda_0^2&...&\lambda_0^n\\ 1&\lambda_1&\lambda_1^2&...&\lambda_1^n\\ 1&\lambda_2&\lambda_2^2&...&\lambda_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\lambda_n&\lambda_n^2&...&\lambda_n^n\\ \end{array}% \right|\=\prod_{0\leq i < j\leq n}(\lambda_j-\lambda_i)$$ Ce déterminant est appelé déterminant de Vandermonde. En particulier, il est non nul si et seulement si les coefficients $\lambda_0$, ..., $\lambda_n$ sont distincts.

Exercice - Vandermonde incomplet.^³⁸

En fonction des réels $a$, $b$, $c$ et $d$, donner la valeur de : $$\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\Delta\:\=\:\left|\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^3&b^3&c^3&d^3\\ a^4&b^4&c^4&d^4\\ \end{array}\right|$$

Exercice.^³⁹

Montrer que les familles de fonctions suivantes sont libres :

$\left(e^{\alpha_1t},..., e^{\alpha_nt}\right)$ avec $\alpha_1$,...,$\alpha_n$ distincts dans $\SetC$.
$\left(\cos{\alpha_1t},..., \cos{\alpha_nt}\right)$ avec $\alpha_1$,...,$\alpha_n$ distincts dans $\SetR^+$.
$\left(\sin{\alpha_1t},..., \sin{\alpha_nt}\right)$ avec $\alpha_1$,...,$\alpha_n$ distincts dans $\SetR^*_+$.

Exercice.^⁴⁰

Le but de l'exercice est de redémontrer l'existence des polynômes de Lagrange avec le déterminant de Vandermonde. Soient $a_0,...,a_n$ distincts dans $\SetR$ et notons $\phi$ l'application de $\SetR_n[X]$ dans $\SetR^{n+1}$ définie par : $$\forall P\in\SetR_n[X],\:\:\phi(P)=(P(a_0),... P(a_n))$$

Déterminer la matrice canoniquement associées à $\phi$. En déduire que $\phi$ est un isomorphisme.
En déduire qu'il existe une famille de polynômes $(L_0,...,L_n)$ qui forme une base de $\SetR_n[X]$ et qui vérifie : $$\forall i,j\in\{0,...,n\},\:\:L_i(a_j)=\delta_{ij}$$