$$
\newcommand{\SetN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\SetR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\SetK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\SetZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SetQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\SetU}{\mathbb{U}}
\newcommand\ds[0]{\displaystyle}
\newcommand\PCar[1]{\large{\chi}_{#1}}
\newcommand{\=}{\:=\:}
\newcommand\tendvers[2]{\displaystyle\mathop{\longrightarrow}_{#1\rightarrow#2}}
\newcommand\tr[0]{\:^t\!}
\newcommand\limite[2]{\displaystyle\mathop{\text{lim}}_{#1\rightarrow#2}\:}
\newcommand\Sup[1]{\displaystyle\mathop{sup}_{#1}}
\newcommand\Inf[1]{\displaystyle\mathop{inf}_{#1}}
\newcommand\Haut[1]{}
\newcommand\vect[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand\tendversCU[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CU}}\:}
\newcommand\tendversCS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CS}}\:}
\newcommand\tendversCN[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CN}}\:}
\newcommand\tendversCUS[0]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{_{CUS}}\:}
\newcommand\tendversNorme[1]{\:\displaystyle\mathop{\Large\longrightarrow}_{n\rightarrow+\infty}^{#1}\:}
\newcommand\simL[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^L}}}
\newcommand\simC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^C}}}
\newcommand\simLC[0]{\displaystyle\mathop{\sim}_{^{^{LC}}}}
\newcommand\fonction[5]{
\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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II. Matrices.
II.1. Matrices élémentaires.
Définition.
Soit $p$ et $q$ fixés dans $\SetN^*$. On note $E_{ij}$ la matrice de $\mathcal{M}_{pq}(\SetK)$ nulle partout sauf en position $(i,j)$ où elle vaut 1.
Proprietes.26
-
$E_{ij}E_{kl}=\left\{%
\begin{array} {cl}%
E_{il} & \hbox{si }j=k\\
0 & \hbox{sinon} \\
\end{array}\right.%
$
$\hskip1cm$ si le produit précédent a un sens.
- $(E_{ij})_{_{(i,j)\in\{1,...,p\}\times\{1,...,q\}}}$ est une base de $\mathcal{M}_{pq}(\SetK)$. Plus précisément si $A=(a_{ij})$ alors $\ds A=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qa_{ij}E_{ij}$.
Exercice.27
Déterminer $\text{Vect}(\mathcal{G}l_n(\SetK))$. On pourra considérer les matrices $I_n+E_{ij}$.
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II. Matrices.
II.2. La trace.
Définition.
La trace d'une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux.
Propriétés.28
- $tr(A^T)=tr(A)$ pour toute matrice carrée.
- $tr$ est une forme linéaire, cad une AL de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ dans $\SetK$.
- $\forall A\in\mathcal{M}_{pq}(\SetK),\:B\in\mathcal{M}_{qp}(\SetK),\:tr(AB)\=tr(BA)$
Exercice.29
- Vérifier que : $\ds\forall A\in\mathcal{M}_{pq}(\SetC),\forall B\in\mathcal{M}_{qp}(\SetC),\:\:tr(AB)=tr(BA)$
- Déterminer toutes les applications linéaires de $\mathcal{M}_n(\SetK)$ dans $\SetK$ vérifiant $f(AB)=f(BA)$ pour tous $A$, $B$ de $\mathcal{M}_n(\SetK)$.
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II. Matrices.
II.3. Matrices définies par blocs
Théorème.30
Soient $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$ et $D_2$ des matrices et $\lambda$, $\mu$ dans $\SetK$.
- Combinaison linéaire et produit.
$$\lambda\left[\begin{array}{cc}
A_1 & B_1 \\
C_1 & D_1
\end{array}\right]+\mu
\left[\begin{array}{cc}
A_2 & B_2 \\
C_2 & D_2
\end{array}\right]\=
\left[\begin{array}{cc}
\lambda A_1+\mu A_2& \lambda B_1+\mu B_2 \\
\lambda C_1+\mu C_2 & \lambda D_1+\mu D_2
\end{array}\right]\hskip1.9cm~$$
$$\left[\begin{array}{cc}
A_1 & B_1 \\
C_1 & D_1
\end{array}\right]\times
\left[\begin{array}{cc}
A_2 & B_2 \\
C_2 & D_2
\end{array}\right]\=
\left[\begin{array}{cc}
A_1.A_2+B_1C_2 & A_1.B_2+B_1.D_2 \\
C_1.A_2+D_1C_2 & C_1B_2+D_1D_2
\end{array}\right]$$
La seule condition étant que ces opérations soient cohérentes en
terme de taille. Ces propriétés se généralisent même si les matrices sont coupées en plus ou moins de blocs. On fait comme si les blocs étaient des coefficients.
- Transposée $($Attention !$)$
$$
{\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]}^T\:\=\:
\left[\begin{array}{cc}
A^T & C^T \\
B^T & D^T
\end{array}\right]
$$
- Déterminant
$$
det\left(\begin{array}{cc}
A & * \\
0 & B
\end{array}\right)
\=det(A).det(B)$$
- Rang
$$rg\left(\begin{array}{cc}
A & * \\
0 & B
\end{array}\right)
\:\:\geq\:\:rg(A)+rg(B)
%
\hskip2cm rg\left(\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & B
\end{array}\right)
\=rg(A)+rg(B)
$$
Exercice.31
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ dans $\mathcal{M}_n(\SetR)$.
- Vérifier qu'en règle générale :
$$det\left(\begin{array}{cc}
A&B\\
C&D \end{array}\right)\:\:\neq\:\:det(AD-BC)\:\neq\:\:det(A)det(D)-det(B)det(C)$$
- Montrer que si $D$ est inversible et si $C$ et $D$ commutent alors :
$$det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D \end{array}\right)\:\=\:det(AD-BC)$$
On pourra utiliser la matrice : $\small\left(\begin{array}{rc}
D&0~\\
-C&D^{-1} \end{array}\right)$
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II. Matrices.
II.4. Savoir interpréter les 0 d'une matrice
Définition et intérêt.
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$. Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $f$ si et seulement si :
$$\forall x\in F,\:\:f(x)\in F$$
Intérêt : si $F$ est stable par $f$ alors l'endomorphisme $\ds f|_{^F}^{_F}$ $($la restriction de $f$ à $F$ à la source et au but$)$ encore noté $f_{_F}$ existe. C'est l'endomorphisme induit par $f$ sur $F$.
Propriétés.32
- Si $F$ et $G$ sont stables par un endomorphisme $u$ alors $F+G$ est encore stable par $u$.
- Soit $M$ la matrice d'un endomorphisme $f$ dans une base $(e_1,...,e_n)$ de la forme :
$$M\=%
\begin{array} {ccc}%
{\tiny f(e_1)\hskip0.4cm...\hskip0.4cm f(e_p)... f(e_q)\hskip0.4cm...\hskip0.4cm f(e_n)}&\\\\
\left(\begin{array} {ccc|ccc|ccc}%
\ddots&&&0&...&0&&&\\
&\ddots&&\vdots&&\vdots&&*&\\
&&\ddots&0&...&0&&&\\
\hline
&&&&&&&&\\
&*&&&A&&&*&\\
&&&&&&&&\\
\hline
&&&0&...&0&\ddots&&\\
&*&&\vdots&&\vdots&&\ddots&\\
&&&0&...&0&&&\ddots\\
\end{array}%
\right)&
\begin{array} {c}%
e_1\\
\vdots\\
e_{p-1}\\\hline
e_p\\
\vdots\\
e_q\\\hline
e_{q+1}\\
\vdots\\
e_n
\end{array}%
\end{array}%
$$
L'espace vectoriel $F=vect\{e_p,...,e_q\}$ est stable par $f$, et $A$ est la matrice de $u_{_F}$ dans la base $(e_p,...,e_q)$.
Remarques.
En particulier :
- Si $M$ est une matrice diagonale alors toutes les droites vectorielles $\SetK e_i$ sont stables par $f$.
- Si $M$ est triangulaire supérieure alors les $F_k=Vect(e_1,...,e_k)$ sont stables par $f$.
- Si $M$ est triangulaire inférieure alors les $F_k=Vect(e_k,...,e_n)$ sont stables par $f$.
Exercice.33
Soit $\beta=(e_1,...,e_5)$ une base d'un $\SetK$-ev $E$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que :
$$[f]_{_\beta}\= \left(\begin{array} {cccccc}%
1&2&0&0&0\\
0&4&0&0&0\\
0&0&5&0&0\\
0&0&0&3&0\\
0&0&0&3&2\\
\end{array}%
\right)$$
Donner 18 sev stables par $f$.
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