Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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I. Rappels sur les polynômes

I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes

Définitions.

Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$

Si $u$ endomorphisme d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
Le polynôme est dit annulateur de $u$ $($resp. de $A)$ si $P(u)=0$ $($resp $P(A)=0)$.

Remarques.

Pour tout $k$ de $\SetN$, on a : $\:u^k=u\:o\:...\:o\:u\:$ et $\:A^k=A\times A\times...\times A\:$.
On notera que le coefficient $a_0$ devient $\:a_0Id\:$ ou $\:a_0I_n\:$.
Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'en a pas !

Exemples.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.

$X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
$X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.

Propriétés.^¹¹

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :

$(PQ)(u)=P(u)\:o\:Q(u)=Q(u)\:o\:P(u)$
Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
Si $v$ est bijectif alors : $P\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:P(u)\:o\:v$
Si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $PQ$ est encore un polynôme annulateur de $u$.

On a des résultats similaires sur les polynômes de matrices, mais les $\:o\:$ sont remplacés par $\times$.

Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.^¹²

Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.

Pour calculer $u^n$, on calcule le reste $R$ de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. On a alors $u^n=R(u)$
Si le coefficient constant $a_0$ de $P$ est non nul alors $u$ est inversible et : $u^{-1}=\frac{P-a_0}{-a_0 X}(u)$.

Exercice.^¹³

Soit : $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -2&3&0\\ -1&1&1\\ \end{pmatrix} $$

Calculer $A^2-3A$
En déduire $A^{-1}$ et $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.

I. Rappels sur les polynômes

I.7. Relations coefficients-racines, racine n$^\text{ème}$.

Théorème.^¹⁹

Soit $P=a_nX^n+...+a_1X+a_0$ un polynôme et $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ les racines complexes de $P$ comptées avec leur multiplicité. Alors : $$\lambda_1+...+\lambda_n\=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\hskip2cm\lambda_1\times...\times\lambda_n\=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$$

Théorème - Racines n$^\text{ème}$ de 1.^²⁰

Les racines n$^\text{ème}$ de 1 sont les $e^\frac{2ik\pi}{n}$ avec $k$ variant dans une liste de $n$ entiers consécutifs.
Si $n\geq 2$, la somme des racines n$^\text{ème}$ vaut 0, le produit vaut $(-1)^{n-1}$.
En particulier si $n=3$, on pose $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. On a $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$.

Théorème - Racines n$^\text{ème}$ d'un nombre complexe $a$ non nul.^²¹

Les racines n$^\text{ème}$ de $a$ sont les $\sqrt[n]{|a|}e^\frac{2ik\pi+i arg(a)}{n}$ avec $k$ variant dans une liste de $n$ entiers consécutifs.
Si $n\geq 2$, la somme des racines n$^\text{ème}$ de $a$ vaut 0, le produit vaut $(-1)^{n-1}a$.

Exercice.^²²

Calculer $\ds\sum_{k=0}^n\cos(kx)$ pour $x$ dans $\SetR$.