Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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I. Rappels sur les polynômes

I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes

Définitions.

Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$

Si $u$ endomorphisme d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
Le polynôme est dit annulateur de $u$ $($resp. de $A)$ si $P(u)=0$ $($resp $P(A)=0)$.

Remarques.

Pour tout $k$ de $\SetN$, on a : $\:u^k=u\:o\:...\:o\:u\:$ et $\:A^k=A\times A\times...\times A\:$.
On notera que le coefficient $a_0$ devient $\:a_0Id\:$ ou $\:a_0I_n\:$.
Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'en a pas !

Exemples.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.

$X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
$X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.

Propriétés.^¹¹

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :

$(PQ)(u)=P(u)\:o\:Q(u)=Q(u)\:o\:P(u)$
Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
Si $v$ est bijectif alors : $P\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:P(u)\:o\:v$
Si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $PQ$ est encore un polynôme annulateur de $u$.

On a des résultats similaires sur les polynômes de matrices, mais les $\:o\:$ sont remplacés par $\times$.

Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.^¹²

Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.

Pour calculer $u^n$, on calcule le reste $R$ de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. On a alors $u^n=R(u)$
Si le coefficient constant $a_0$ de $P$ est non nul alors $u$ est inversible et : $u^{-1}=\frac{P-a_0}{-a_0 X}(u)$.

Exercice.^¹³

Soit : $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -2&3&0\\ -1&1&1\\ \end{pmatrix} $$

Calculer $A^2-3A$
En déduire $A^{-1}$ et $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.

I. Rappels sur les polynômes

I.6. Polynômes de Tchebytchev.

Exercice - Polynômes de Tchebytchev.^¹⁶

On définit la suite des polynômes de Tchebychev $(T_n)$ par $T_0=1$, $T_1=X$ et : $$\forall n\in\SetN^,\:\:T_{n+1}\=2XT_{n}-T_{n-1}$$

Montrer que : $$\forall n\SetN,\:\forall\theta\in\SetR,\:\:cos(n\theta)=T_n(cos\theta)\hskip1cm (*)$$
Montrer que $T_n$ est le seul polynôme vérifiant la relation $(*)$.
Calculer $T_5$ avec la relation de récurrence, puis avec la relation $(*)$.
Montrer que pour tout $n$ de $\SetN$, le polynôme $T_n$ est de degré $n$,
Montrer que pour tout $n$ de $\SetN$, le polynôme $T_n$ scindé et à racines simples.
Montrer que pour tout $n$ de $\SetN^*$, le coefficient dominant de $T_n$ est $2^{n-1}$ si $n\geq 1$. En déduire la forme factorisée de $T_n$.

Exercice.^¹⁷

Calculer le déterminant : $$\Delta_n(X)\:\=\: \left|\begin{array}{ccccc} X&1&0&...&0\\ 1&2X&1&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&2X&1\\ 0&...&0&1&2X\\ \end{array}\right|$$

Exercice.^¹⁸

Calculer $T_n(ch(x))$ pour tout $x$ de $\SetR$ et pour tout $n$ de $\SetN$.