Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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I. Rappels sur les polynômes

I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes

Définitions.

Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$

Si $u$ endomorphisme d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
Le polynôme est dit annulateur de $u$ $($resp. de $A)$ si $P(u)=0$ $($resp $P(A)=0)$.

Remarques.

Pour tout $k$ de $\SetN$, on a : $\:u^k=u\:o\:...\:o\:u\:$ et $\:A^k=A\times A\times...\times A\:$.
On notera que le coefficient $a_0$ devient $\:a_0Id\:$ ou $\:a_0I_n\:$.
Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'en a pas !

Exemples.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.

$X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
$X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.

Propriétés.^¹¹

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :

$(PQ)(u)=P(u)\:o\:Q(u)=Q(u)\:o\:P(u)$
Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
Si $v$ est bijectif alors : $P\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:P(u)\:o\:v$
Si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $PQ$ est encore un polynôme annulateur de $u$.

On a des résultats similaires sur les polynômes de matrices, mais les $\:o\:$ sont remplacés par $\times$.

Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.^¹²

Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.

Pour calculer $u^n$, on calcule le reste $R$ de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. On a alors $u^n=R(u)$
Si le coefficient constant $a_0$ de $P$ est non nul alors $u$ est inversible et : $u^{-1}=\frac{P-a_0}{-a_0 X}(u)$.

Exercice.^¹³

Soit : $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -2&3&0\\ -1&1&1\\ \end{pmatrix} $$

Calculer $A^2-3A$
En déduire $A^{-1}$ et $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.

I. Rappels sur les polynômes

I.5. Polynômes de Lagrange.

Théorème - Les polynômes de Lagrange.^¹⁴

Soient $n$ dans $\SetN$ et $a_0,..., a_n$ dans $\SetK$ distincts.

Pour tout $i$ dans $\{0,...,n\}$, il existe un unique polynôme $L_i$ de $\SetK_{n}[X]$ vérifiant $L_i(a_j)=\delta_{ij}$ pour tout $j$ de $\{0,...,n\}$. Ce polynôme vaut : $$L_i\=\prod_{\renewcommand{\arraystretch}{0.4}\begin{array}{c}\scriptstyle j=0 \\\scriptstyle j\neq i\end{array}}^n\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$$
La famille $(L_0,..., L_n)$ forme une base de $\SetK_n[X]$.
Soient $(b_0,...,b_n)$ dans $\SetR^n$. Le polynôme : $$P\:\:\=P(a_0)L_0\:\:+\:\:P(a_1)L_1\:\:+\:\:...\:\:+\:\:P(a_n)L_n$$ est l'unique polynôme de $\SetK_n[X]$ vérifiant $P(a_k)=b_k$ pour tout $k$ de $[\![1,n]\!]$
Vérifier que : $L_0+L_1+...+L_n\=1$

Remarque.

On peut se servir des polynômes de Lagrange pour approcher une fonction $f$. Dans ce cas, on choisit $a_0$, ..., $a_n$, puis on approche $f$ par le polynôme de Lagrange vérifiant $P(a_i)=f(a_i)$ pour tout $i$ de $\{0,...,n\}$.

Exercice.^¹⁵

Soient $\Delta$ une matrice diagonale de coefficients diagonaux $\delta_1,...,\delta_n$.

Montrer que pour tout polynômes $P$, on a : $$P\left(\begin{array}{cccc} \delta_1&0&...&0\\ 0&\delta_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&...&0&\delta_n&\\ \end{array}\!\right) \:\=\: \left(\begin{array}{cccc} P(\delta_1)&0&...&0\\ 0&P(\delta_2)&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&...&0&P(\delta_n)&\\ \end{array}\!\right) $$
Supposons les $\delta_1,...,\delta_n$ distincts. Montrer pour toute matrice diagonale $D$, il existe un polynôme $P$, tel que $D=P(\Delta)$.