$$
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\newcommand{\SetC}{\mathbb{C}}
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\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres |
Plan du chapitre |
 | Section |  |
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| sous-section | |
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| Ici sera la liste des chapitres !!! |
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I. Rappels sur les polynômes
I.1. Degré et valuation
Définition - degré et de la valuation.
Soit $P=(a_n)$ dans $\SetK[X]$.
- Si $P$ est non nul, on définit : $$\text{deg}(P)=Max\:\{n\in\SetN\:/\:a_n\neq 0\}\hskip3cm\text{val}(P)=Min\:\{n\in\SetN\:/\:a_n\neq 0\}$$
- $\text{deg}(0)=-\infty$ et $\text{val}(0)=+\infty$.
Théorème.1
Soit $P$ et $Q$ deux polynômes, on a alors :
- $\text{deg}(P+Q)\:\leq\:\text{Max}(\text{deg}(P),\text{deg}(Q))$. Il y a égalité par exemple si
$\text{deg}(P)\neq\text{deg}(Q)$.
- $\text{val}(P+Q)\:\geq\:\text{Min}(\text{val}(P),\text{val}(Q))$. Il y a égalité par exemple si
$\text{val}(P)\neq\text{val}(Q)$.
- $\text{deg}(P\times Q)\:=\:\text{deg}(P)+\text{deg}(Q)$.
- $\text{val}(P\times Q)\:=\:\text{val}(P)+\text{val}(Q)$.
Critéres de liberté.2
Une famille de polynômes est dite échelonnée en degré $($resp. en valuation$)$ si et seulement les degrés $($resp. les valuations$)$ des polynômes sont différents.
- Montrer que toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est libre.
- Montrer que toute famille échelonnée en valuation de polynômes non nuls est libre.
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I. Rappels sur les polynômes
I.2. Racines et degré. Comment montrer qu'un polynôme est nul ?
Théorème.3
- Un polynôme non nul de $\SetK[X]$ a au plus $\text{deg}(P)$ racines dans $\SetK$ comptées avec leur
multiplicité.
- Un polynôme $P$ de $\SetK_n[X]$ qui
admet au moins $(n+1)$ racines distinctes dans $\SetK$ est nul.
- Un polynôme de $\SetK[X]$ qui admet une infinité de racines
dans $\SetK$ est nul.
Méthodes.4
Soit $P$ et $Q$ dans $\SetK[X]$
- Pour montrer qu'un polynôme $P$ est nul, on montre que $P$ a plus de racines que son degré si on connait $deg(P)$, sinon on montre qu'il a une infinité de racines.
- Pour montrer que 2 polynômes sont égaux, on montre que leur différence est nulle avec la méthode précédente.
Exercice.5
Soient $a_0$, ..., $a_n$ des réels distincts. Montrer que l'application $\phi$ définie de $\SetR_n[X]$ dans $\SetR$ par :
$$\phi(P)\=\sum_{k=0}^{n}\left|P(a_k)\right|$$
est une norme.
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I. Rappels sur les polynômes
I.3. Polynômes irréductibles.
Outil important.6
Soit $P\in\SetR[X]$. Si $z$ est une racine d'ordre $r$ de $P$,
il en est de même pour $\bar{z}$.
Théorème fondamental de l'algèbre $($D'Alembert-Gauss$)$.7
Tout polynôme non constant de $\SetC[X]$ a au moins une
racine. On dit que $\SetC$ est algébriquement clos.
Conséquences.8
- Les polynômes irréductibles de $\SetC[X]$ sont les polynômes de degré
1.
- Tout polynôme est scindable sur $\SetC$ et admet donc exactement autant de
racines comptées avec leur multiplicité que son degré.
- Les polynômes irréductibles de $\SetR[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 ayant un $\Delta$ strictement négatif.
Méthode. Comment écrire un polynôme en produit de polynômes irréductibles sur $\SetR$ ? 9
- On cherche les racines sur $\SetC$, on en déduit une décomposition dans $\SetC[X]$.
- On regroupe les racines conjuguées pour faire un polynôme de $\SetR[X]$.
Exercice.10
Décomposer $X^4+1$, en produit de polynômes irréductibles sur $\SetR[X]$.
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I. Rappels sur les polynômes
I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes
Définitions.
Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$
- Si $u$ endomorphisme d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
- Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
- Le polynôme est dit annulateur de $u$ $($resp. de $A)$ si $P(u)=0$ $($resp $P(A)=0)$.
Remarques.
- Pour tout $k$ de $\SetN$, on a : $\:u^k=u\:o\:...\:o\:u\:$ et $\:A^k=A\times A\times...\times A\:$.
- On notera que le coefficient $a_0$ devient $\:a_0Id\:$ ou $\:a_0I_n\:$.
- Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'en a pas !
Exemples.
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.
- $X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
- $X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.
Propriétés.11
Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :
- $(PQ)(u)=P(u)\:o\:Q(u)=Q(u)\:o\:P(u)$
- Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
- Si $v$ est bijectif alors : $P\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:P(u)\:o\:v$
- Si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $PQ$ est encore un polynôme annulateur de $u$.
On a des résultats similaires sur les polynômes de matrices, mais les $\:o\:$ sont remplacés par $\times$.
Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.12
Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.
- Pour calculer $u^n$, on calcule le reste $R$ de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. On a alors $u^n=R(u)$
- Si le coefficient constant $a_0$ de $P$ est non nul alors $u$ est inversible et : $u^{-1}=\frac{P-a_0}{-a_0 X}(u)$.
Exercice.13
Soit :
$$A=\begin{pmatrix}
0&1&0\\
-2&3&0\\
-1&1&1\\
\end{pmatrix}
$$
- Calculer $A^2-3A$
- En déduire $A^{-1}$ et $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.
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I. Rappels sur les polynômes
I.5. Polynômes de Lagrange.
Théorème - Les polynômes de Lagrange.14
Soient $n$ dans $\SetN$ et $a_0,..., a_n$ dans $\SetK$ distincts.
- Pour tout $i$ dans $\{0,...,n\}$, il existe un unique polynôme $L_i$ de $\SetK_{n}[X]$ vérifiant $L_i(a_j)=\delta_{ij}$ pour tout $j$ de $\{0,...,n\}$. Ce polynôme vaut :
$$L_i\=\prod_{\renewcommand{\arraystretch}{0.4}\begin{array}{c}\scriptstyle j=0 \\\scriptstyle j\neq i\end{array}}^n\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$$
- La famille $(L_0,..., L_n)$ forme une base de $\SetK_n[X]$.
- Soient $(b_0,...,b_n)$ dans $\SetR^n$. Le polynôme :
$$P\:\:\=P(a_0)L_0\:\:+\:\:P(a_1)L_1\:\:+\:\:...\:\:+\:\:P(a_n)L_n$$
est l'unique polynôme de $\SetK_n[X]$ vérifiant $P(a_k)=b_k$ pour tout $k$ de $[\![1,n]\!]$
- Vérifier que : $L_0+L_1+...+L_n\=1$
Remarque.
On peut se servir des polynômes de Lagrange pour approcher une fonction $f$. Dans ce cas, on choisit $a_0$, ..., $a_n$, puis on approche $f$ par le polynôme de Lagrange vérifiant $P(a_i)=f(a_i)$ pour tout $i$ de $\{0,...,n\}$.
Exercice.15
Soient $\Delta$ une matrice diagonale de coefficients diagonaux $\delta_1,...,\delta_n$.
- Montrer que pour tout polynômes $P$, on a :
$$P\left(\begin{array}{cccc}
\delta_1&0&...&0\\
0&\delta_2&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&...&0&\delta_n&\\
\end{array}\!\right)
\:\=\:
\left(\begin{array}{cccc}
P(\delta_1)&0&...&0\\
0&P(\delta_2)&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&...&0&P(\delta_n)&\\
\end{array}\!\right)
$$
- Supposons les $\delta_1,...,\delta_n$ distincts. Montrer pour toute matrice diagonale $D$, il existe un polynôme $P$, tel que
$D=P(\Delta)$.
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I. Rappels sur les polynômes
I.6. Polynômes de Tchebytchev.
Exercice - Polynômes de Tchebytchev.16
On définit la suite des polynômes de Tchebychev $(T_n)$ par $T_0=1$, $T_1=X$ et :
$$\forall n\in\SetN^,\:\:T_{n+1}\=2XT_{n}-T_{n-1}$$
- Montrer que :
$$\forall n\SetN,\:\forall\theta\in\SetR,\:\:cos(n\theta)=T_n(cos\theta)\hskip1cm (*)$$
- Montrer que $T_n$ est le seul polynôme vérifiant la relation $(*)$.
- Calculer $T_5$ avec la relation de récurrence, puis avec la relation $(*)$.
- Montrer que pour tout $n$ de $\SetN$, le polynôme $T_n$ est de degré $n$,
- Montrer que pour tout $n$ de $\SetN$, le polynôme $T_n$ scindé et à racines simples.
- Montrer que pour tout $n$ de $\SetN^*$, le coefficient dominant de $T_n$ est $2^{n-1}$ si $n\geq 1$.
En déduire la forme factorisée de $T_n$.
Exercice.17
Calculer le déterminant :
$$\Delta_n(X)\:\=\:
\left|\begin{array}{ccccc}
X&1&0&...&0\\
1&2X&1&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&2X&1\\
0&...&0&1&2X\\
\end{array}\right|$$
Exercice.18
Calculer $T_n(ch(x))$ pour tout $x$ de $\SetR$ et pour tout $n$ de $\SetN$.
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I. Rappels sur les polynômes
I.7. Relations coefficients-racines, racine n$^\text{ème}$.
Théorème.19
Soit $P=a_nX^n+...+a_1X+a_0$ un polynôme et $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ les
racines complexes de $P$ comptées avec leur multiplicité. Alors :
$$\lambda_1+...+\lambda_n\=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\hskip2cm\lambda_1\times...\times\lambda_n\=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$$
Théorème - Racines n$^\text{ème}$ de 1.20
- Les racines n$^\text{ème}$ de 1 sont les $e^\frac{2ik\pi}{n}$ avec $k$ variant dans une liste de $n$ entiers consécutifs.
- Si $n\geq 2$, la somme des racines n$^\text{ème}$ vaut 0, le produit vaut $(-1)^{n-1}$.
- En particulier si $n=3$, on pose $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. On a $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$.
Théorème - Racines n$^\text{ème}$ d'un nombre complexe $a$ non nul.21
- Les racines n$^\text{ème}$ de $a$ sont les $\sqrt[n]{|a|}e^\frac{2ik\pi+i arg(a)}{n}$ avec $k$ variant dans une liste de $n$ entiers consécutifs.
- Si $n\geq 2$, la somme des racines n$^\text{ème}$ de $a$ vaut 0, le produit vaut $(-1)^{n-1}a$.
Exercice.22
Calculer $\ds\sum_{k=0}^n\cos(kx)$ pour $x$ dans $\SetR$.
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I. Rappels sur les polynômes
I.8. Développement en éléments simples
Théorème.23
Soient $P$ et $Q$ dans $\SetR[X]$ et $Q=Q_1^{p_1}... Q_r^{p_r}$ la décompositions en facteurs irréductibles sur $\SetK$ de $Q$. Alors la fraction rationnelle $\frac{P}{Q}$ se décompose de façon
unique à l'ordre près des termes sous la forme :
$$F\=E\:+\:\sum_{i=1}^r\left(\frac{A_{i1}}{Q_i}+\frac{A_{i2}}{Q_i^2}+...+\frac{A_{ip_i}}{Q_i^{p_i}}\right)\hskip1cm(*)$$
où $E$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ et les $\:A_{ij}\:$ sont des polynômes tels que $\:\text{deg}(A_{ik}) < \text{deg}(Q_i)\:$ pour toutes valeurs de $i$ et $k$ possibles.
Remarques.
- Dans le cas où $\SetK=\SetR$, les polynômes irréductibles sont de degré 1 ou de degré 2. Ainsi les polynômes $A_{ij}$ sont constants si $Q_i$ est de degré 1, ou dans $\SetR_1[X]$ si $Q_i$ est de degré 2.
- Le polynôme $E$ est nul si $\:\text{deg}(Q) > \text{deg}(P)\:$, sinon son degré vaut $\:\text{deg}(P)-\text{deg}(Q)$.
Exemple.
Par exemple :
$$\frac{X^7}{(X^2+1)^2(X-1)^3}\:\:\=\:\:a\:\:+\:\:\frac{bX+c}{X^2+1}\:\:+\:\:\frac{dX+e}{(X^2+1)^2}
\:\:+\:\:\frac{f}{X-1}
\:\:+\:\:\frac{g}{(X-1)^2}
\:\:+\:\:\frac{h}{(X-1)^3}$$
Méthode dans le cas d'un pole simple.24
Si $\:\:p_i=1\:\:$ et $\:\:Q_i=X-a\:\:$ alors $\:A_{i1}\:$ est une constante. Pour la trouver, on multiplie par $X-a$ l'équation $(*)$ et on évalue en $a$. Dans les autres cas, on improvise.
Exercice.25
Déterminer : $\ds\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x^4-1}dx$
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