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Cours Rappels et compléments d'algèbre linéaire. |
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\begin{array}{cccc}
#1\::\:& #2 & \rightarrow & #3 \\
& #4 & \mapsto & \ds #5 \
\end{array}}
$$
| Liste chapitres | Plan du chapitre |
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I. Rappels sur les polynômes I.1. Degré et valuation
Définition - degré et de la valuation.
Soit $P=(a_n)$ dans $\SetK[X]$.
Théorème.1
Soit $P$ et $Q$ deux polynômes, on a alors :
Critéres de liberté.2
Une famille de polynômes est dite échelonnée en degré $($resp. en valuation$)$ si et seulement les degrés $($resp. les valuations$)$ des polynômes sont différents.
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I. Rappels sur les polynômes I.2. Racines et degré. Comment montrer qu'un polynôme est nul ?
Théorème.3
Méthodes.4
Soit $P$ et $Q$ dans $\SetK[X]$
Exercice.5
Soient $a_0$, ..., $a_n$ des réels distincts. Montrer que l'application $\phi$ définie de $\SetR_n[X]$ dans $\SetR$ par :
$$\phi(P)\=\sum_{k=0}^{n}\left|P(a_k)\right|$$
est une norme. | |||||||||
I. Rappels sur les polynômes I.3. Polynômes irréductibles.
Outil important.6
Soit $P\in\SetR[X]$. Si $z$ est une racine d'ordre $r$ de $P$,
il en est de même pour $\bar{z}$.
Théorème fondamental de l'algèbre $($D'Alembert-Gauss$)$.7
Tout polynôme non constant de $\SetC[X]$ a au moins une
racine. On dit que $\SetC$ est algébriquement clos.
Conséquences.8
Méthode. Comment écrire un polynôme en produit de polynômes irréductibles sur $\SetR$ ? 9
Exercice.10
Décomposer $X^4+1$, en produit de polynômes irréductibles sur $\SetR[X]$. | |||||||||
I. Rappels sur les polynômes I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes
Définitions.
Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$
Remarques.
Exemples.
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.
Propriétés.11
Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :
Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.12
Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.
Exercice.13
Soit :
$$A=\begin{pmatrix}
0&1&0\\
-2&3&0\\
-1&1&1\\
\end{pmatrix}
$$
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I. Rappels sur les polynômes I.5. Polynômes de Lagrange.
Théorème - Les polynômes de Lagrange.14
Soient $n$ dans $\SetN$ et $a_0,..., a_n$ dans $\SetK$ distincts.
Remarque.
On peut se servir des polynômes de Lagrange pour approcher une fonction $f$. Dans ce cas, on choisit $a_0$, ..., $a_n$, puis on approche $f$ par le polynôme de Lagrange vérifiant $P(a_i)=f(a_i)$ pour tout $i$ de $\{0,...,n\}$.
Exercice.15
Soient $\Delta$ une matrice diagonale de coefficients diagonaux $\delta_1,...,\delta_n$.
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I. Rappels sur les polynômes I.6. Polynômes de Tchebytchev.
Exercice - Polynômes de Tchebytchev.16
On définit la suite des polynômes de Tchebychev $(T_n)$ par $T_0=1$, $T_1=X$ et :
$$\forall n\in\SetN^,\:\:T_{n+1}\=2XT_{n}-T_{n-1}$$
Exercice.17
Calculer le déterminant :
$$\Delta_n(X)\:\=\:
\left|\begin{array}{ccccc}
X&1&0&...&0\\
1&2X&1&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&2X&1\\
0&...&0&1&2X\\
\end{array}\right|$$
Exercice.18
Calculer $T_n(ch(x))$ pour tout $x$ de $\SetR$ et pour tout $n$ de $\SetN$. | |||||||||
I. Rappels sur les polynômes I.7. Relations coefficients-racines, racine n$^\text{ème}$.
Théorème.19
Soit $P=a_nX^n+...+a_1X+a_0$ un polynôme et $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ les
racines complexes de $P$ comptées avec leur multiplicité. Alors :
$$\lambda_1+...+\lambda_n\=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\hskip2cm\lambda_1\times...\times\lambda_n\=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$$
Théorème - Racines n$^\text{ème}$ de 1.20
Théorème - Racines n$^\text{ème}$ d'un nombre complexe $a$ non nul.21
Exercice.22
Calculer $\ds\sum_{k=0}^n\cos(kx)$ pour $x$ dans $\SetR$. | |||||||||
I. Rappels sur les polynômes I.8. Développement en éléments simples
Théorème.23
Soient $P$ et $Q$ dans $\SetR[X]$ et $Q=Q_1^{p_1}... Q_r^{p_r}$ la décompositions en facteurs irréductibles sur $\SetK$ de $Q$. Alors la fraction rationnelle $\frac{P}{Q}$ se décompose de façon
unique à l'ordre près des termes sous la forme :
$$F\=E\:+\:\sum_{i=1}^r\left(\frac{A_{i1}}{Q_i}+\frac{A_{i2}}{Q_i^2}+...+\frac{A_{ip_i}}{Q_i^{p_i}}\right)\hskip1cm(*)$$ où $E$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ et les $\:A_{ij}\:$ sont des polynômes tels que $\:\text{deg}(A_{ik}) < \text{deg}(Q_i)\:$ pour toutes valeurs de $i$ et $k$ possibles.
Remarques.
Exemple.
Par exemple :
$$\frac{X^7}{(X^2+1)^2(X-1)^3}\:\:\=\:\:a\:\:+\:\:\frac{bX+c}{X^2+1}\:\:+\:\:\frac{dX+e}{(X^2+1)^2}
\:\:+\:\:\frac{f}{X-1}
\:\:+\:\:\frac{g}{(X-1)^2}
\:\:+\:\:\frac{h}{(X-1)^3}$$
Méthode dans le cas d'un pole simple.24
Si $\:\:p_i=1\:\:$ et $\:\:Q_i=X-a\:\:$ alors $\:A_{i1}\:$ est une constante. Pour la trouver, on multiplie par $X-a$ l'équation $(*)$ et on évalue en $a$. Dans les autres cas, on improvise.
Exercice.25
Déterminer : $\ds\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x^4-1}dx$ | |||||||||
