Psi - Math - Lycée Alphone Daudet

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I. Rappels sur les polynômes

I.1. Degré et valuation

Définition - degré et de la valuation.

Soit $P=(a_n)$ dans $\SetK[X]$.

Si $P$ est non nul, on définit : $$\text{deg}(P)=Max\:\{n\in\SetN\:/\:a_n\neq 0\}\hskip3cm\text{val}(P)=Min\:\{n\in\SetN\:/\:a_n\neq 0\}$$
$\text{deg}(0)=-\infty$ et $\text{val}(0)=+\infty$.

Théorème.^¹

Soit $P$ et $Q$ deux polynômes, on a alors :

$\text{deg}(P+Q)\:\leq\:\text{Max}(\text{deg}(P),\text{deg}(Q))$. Il y a égalité par exemple si $\text{deg}(P)\neq\text{deg}(Q)$.
$\text{val}(P+Q)\:\geq\:\text{Min}(\text{val}(P),\text{val}(Q))$. Il y a égalité par exemple si $\text{val}(P)\neq\text{val}(Q)$.
$\text{deg}(P\times Q)\:=\:\text{deg}(P)+\text{deg}(Q)$.
$\text{val}(P\times Q)\:=\:\text{val}(P)+\text{val}(Q)$.

Critéres de liberté.^²

Une famille de polynômes est dite échelonnée en degré $($resp. en valuation$)$ si et seulement les degrés $($resp. les valuations$)$ des polynômes sont différents.

Montrer que toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est libre.
Montrer que toute famille échelonnée en valuation de polynômes non nuls est libre.

I. Rappels sur les polynômes

I.4. Polynômes de matrices, d'endomorphismes

Définitions.

Soit $P=a_0+a_1X+... a_nX^n$ un polynôme à coefficients dans $\SetK$

Si $u$ endomorphisme d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ alors on définit l'endomorphisme $P(u)$ par : $$P(u)\:\=\:a_0Id\:+\:a_1u\:+\:...\:+\:a_nu^n$$
Si $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\SetK)$ alors on définit : $$P(A)\:\=\:a_0I_n\:+\:a_1A\:+\:...\:+\:a_nA^n$$
Le polynôme est dit annulateur de $u$ $($resp. de $A)$ si $P(u)=0$ $($resp $P(A)=0)$.

Remarques.

Pour tout $k$ de $\SetN$, on a : $\:u^k=u\:o\:...\:o\:u\:$ et $\:A^k=A\times A\times...\times A\:$.
On notera que le coefficient $a_0$ devient $\:a_0Id\:$ ou $\:a_0I_n\:$.
Si $x$ est un vecteur de $E$ alors $P(u)(x)$ a un sens mais $P(u(x))$ n'en a pas !

Exemples.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\SetK$ espace vectoriel $E$.

$X^2-X$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est un projecteur/une projection.
$X^2-1$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $u$ est une involution linéaire/une symétrie.

Propriétés.^¹¹

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d'un $\SetK$-espace vectoriel $E$ et $P$, $Q$ des polynômes de $\SetK[X]$. On a :

$(PQ)(u)=P(u)\:o\:Q(u)=Q(u)\:o\:P(u)$
Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
Si $v$ est bijectif alors : $P\left(v^{-1}o\:u\:o\:v\right)\:\=v^{-1}o\:\:P(u)\:o\:v$
Si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $PQ$ est encore un polynôme annulateur de $u$.

On a des résultats similaires sur les polynômes de matrices, mais les $\:o\:$ sont remplacés par $\times$.

Méthode : calcul des puissances et de l'inverse d'un endo/d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur.^¹²

Soit $P$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $u$ de dimension finie.

Pour calculer $u^n$, on calcule le reste $R$ de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. On a alors $u^n=R(u)$
Si le coefficient constant $a_0$ de $P$ est non nul alors $u$ est inversible et : $u^{-1}=\frac{P-a_0}{-a_0 X}(u)$.

Exercice.^¹³

Soit : $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -2&3&0\\ -1&1&1\\ \end{pmatrix} $$

Calculer $A^2-3A$
En déduire $A^{-1}$ et $A^n$ pour tout $n$ de $\SetN$.